截尾誤差 (微分方程數值方法)
常微分方程數值方法裡的截尾誤差可以分為以下兩種： 局部截尾誤差：因為一次迭代產生的誤差 全域截尾誤差：因為多次迭代產生的累積誤差 定義 針對以下的微分方程 : y' = f(t,y), \qquad y(t_0) = y_0, \qquad t \geq t_0 想要計算在離散時間 t_1,t_2,\ldots,t_N 下，精確解 y(t_n) 的近似值y_n。為了簡單起見，假設時間間隔都相等： : h = t_n - t_{n-1},…
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共 8 篇文章
欧拉-麦克劳林求和公式
是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]] 是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]] 欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。 公式 设为一至少阶可微的函数，{{Smallmath|f= a,b \in \mathbb{Z} }}，则 \begin{align} \sum_{a 其中 表示的阶乘 {{Smallmath|f= f^{(…
牛頓-寇次公式
在數值分析上，梯形法則和辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。 這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距n+1點的值，取得一個n次的多項式來近似原來的函數，再行求積。 梯形法則 梯形法則是： : \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}. 這等同將被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。 要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小…
高斯求积
高斯求積，又稱高斯數值積分，（），是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。 当我们要求解某个函数的积分\int_{-1}^{1}f(x) dx ，其数值解可以由\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)近似，其中w_i, i = 1 ... n为权重。高斯求积仅当函数f(x)可以由在区间[-1,1]上的多项式近似时才能获得准确的近似解，且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数f(…
辛普森積分法
辛普森法則（）是一種數值積分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。最基本的近似，稱為辛普森1/3法，其近似公式如下： : \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] 辛普森3/8法在積分範圍內多一個要求值的點，誤差範圍…
數值積分
在数值分析中，數值積分（）是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。 必要性 数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，…
梯形公式
函數（紅色）會作用估算函數f(x) （藍色）。]] 梯形公式是數學中数值积分的基础公式之一： \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}. 公式由来 由积分中值定理可得 \exists \xi \in [a,b] \int\limits_{a}^{b} f(x) dx = (b-a)f(\xi) ， 但由于ξ其值一般难于确定，故难以准确算出f(\xi)的值。 如果用…
矩形法
微积分中，矩形法是一种计算定积分近似值的方法，其思想是求若干个矩形的面积之和，这些矩形的高由函数值来决定。 将积分区间 (a,b) 划分为 n 个长度相等的子区间，每个子区间的长度为 \Delta x =\frac{b-a}{n} 。这些矩形左上角、右上角或顶边中点在被积函数图像上。这样，这些矩形的面积之和就约等于定积分的近似值。有： :\int_a^b f(x)\,\mbox{d} x \approx \sum_{i=1}^{n} f…