函數（紅色）會作用估算函數f(x) （藍色）。]]
梯形公式是數學中数值积分的基础公式之一： \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.
公式由来
由积分中值定理可得
\exists \xi \in [a,b] \int\limits_{a}^{b} f(x) dx = (b-a)f(\xi) ，
但由于ξ其值一般难于确定，故难以准确算出f(\xi)的值。
如果用两端点f(a)与f(b)的算术平均值估算f(\xi)，有
\int\limits_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] ，
这就是梯形公式。
类似地，如果用区间中点c=\frac{a+b}{2} 其高度f(c)取代f(\xi)，从而有中矩形公式
\int\limits_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a)f(\frac{a+b}{2}) 。
复合求积公式
每一區間相同
為了計算出更加準確的定積分，可以把積分的區間[a, b]分成N份，當中N趨向無限，分割出的每一個區間長度必定要是一樣的，然後就可以應用梯形公式：
:\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right].
亦可以寫成：
:\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2N} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\cdots+2f(x_{N-1}) + f(x_N) \right)
當中
: x_k=a+k \frac{b-a}{N},\text{ for }k=0, 1, \dots, N
其余项为
R_n(f)=-\frac{b-a}{12}h^2f*(\eta) , \eta \in (a,b)
當區間的長度並不相同時，這一條公式便不能使用。
每一區間並不相同
給予x_1,\ldots,x_N以及y_1,\ldots,y_N，定積分就可以估算成
:\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=2}^{N} (x_i-x_{i-1})(y_i+y_{i-1}),
當中
:y_i=f(x_i).
誤差分析
應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異：
: \text{error} = \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right]
如果 (a,b)中存在一個實數\xi，那麼
: \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f*(\xi)
对于中矩形公式，其误差类似的有：
\text{error} = -\frac{(b-a)^3}{24} f*(\xi)
如果被積函數是一個凸函數（亦即有一個正值二階導數），那麼誤差會是一個負數，也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達：梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地，如果被積函數是一個凹函數，梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。
一般而言有數種方法可以去分析誤差，例如是：傅利葉級數。
在N\rightarrow\infty的情況下，趨向性的估計誤差是：
: \text{error} = -\frac{(b-a)^2}{12N^2} \big[ f'(b)-f'(a) \big] + O(N^{-3}).
参考文献
- 《数值分析》，清华大学出版社，李庆扬等编，书号ISBN 978-7-302-18565-9
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