辛普森法則（）是一種數值積分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。最基本的近似，稱為辛普森1/3法，其近似公式如下：
: \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
辛普森3/8法在積分範圍內多一個要求值的點，誤差範圍比較小，而且不會增加誤差的階數。
該方法由英國數學家所創立。
簡化公式
V=\frac{h (a+4b+c)}{6}
- h是立体（常指擬柱體）的高度
- a是下底面积
- b是中间截面面积（在一半高度上的截面面积）
- c是上底面积
; 棱柱和圆柱（a=b=c）
V=\frac{h (a+4b+c)}{6}=\frac{h \cdot 6a}{6}=ha(棱柱和圆柱的体积=底面积*高)
; 棱锥和圆锥（a=4b,c=0）
V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+\frac{4a}{4}+0)}{6}=\frac{ah}{3}
(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)
; 圆台
V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{\pi h(R^2+Rr+r^2)}{3}
; 球体
V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{2R(0+4\pi R^2+0)}{6}=\frac{4\pi R^3}{3}
公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……
; 平行四边形（正方形、矩形等）
S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=ah
(平行四边形的面积等于底乘高)
; 梯形
S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+c)}{2}
; 三角形
S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{ah}{2}
辛普森3/8法
辛普森3/8法是辛普森提出的另一個數值積分方法，是以三次內插為基礎，公式如下：
\begin{align}
\int_a^b f(x)\, dx
&\approx \frac{b - a}{8} \left[f(a) + 3f\left(\frac{2a + b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a + 2b}{3}\right) + f(b)\right]\\
&= \frac{3}{8} h\left[f(a) + 3f\left(a + h\right) + 3f\left(a + 2h\right) + f(b)\right],
\end{align}
其中h = (b - a)/3是間隔長度。
此方法的誤差為
-\frac{3}{80} h^5f^{(4)}(\xi) = -\frac{(b - a)^5}{6480} f^{(4)}(\xi),
其中\xi是a和b之間的某數值。因此，辛普森3/8法的準確度約是辛普森1/3法的二倍，但是也多計算一次
参见
- 梯形公式
- 牛顿-寇次公式
- 数值积分
參考資料
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