拉格朗日插值法
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示各結果之間某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过繁複实验和多次观测来了解。而，如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式（Lagrange polynomial）。数学上来说，…
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多项式插值
在数值分析这个数学分支中，多项式插值用多项式对一组给定数据进行插值的过程。换句话说就是，对于一组给定的数据（如来自于采样的数据），其目的就是寻找一个恰好通过这些数据点的多项式。 应用 多项式可以根据少数给定的数据点来逼近复杂的曲线，如字体排印学中的文字。一个相关的应用是估计自然对数和三角函数的值：选择几个已知的数据点、构建一个查找表、然后在这些数据点之间进行插值。这样可以得到非常快速的计算。另外多项式插值也是数值积分和数值常微分方程中算…
割圆术 (刘徽)
割圆术是三国时期数学家刘徽在注释《九章算术》时提出的一种数学方法，用于计算圆周率。这种方法通过计算圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积，蕴含了极限思想，是中国古代数学中的重要成就。 历史背景 在刘徽之前，圆周率的计算多采用经验值。常见的"周三径一"（即圆周率=3）仅是粗略估计。东汉科学家张衡曾采用\pi = \frac{736}{232}=3.172和\pi=\sqrt{10}\approx3.16，但刘徽认为\pi=\sqrt{10}的…
调日法
调日法是南北朝数学家何承天发明的一种系统地寻找最佳逼近（帕德近似）以表示天文数据或数学常数的内插法。据宋史卷七十四：“宋世何承天，更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率；于强弱之际，以求日法……自后治历者，莫不因承天法，累强弱之数”调日法后來传入日本。 中国有学者认为祖冲之可能利用何承天的调日法求得圆周率的约率和密率： :圆周率的约率为 \frac{22}{7}\ :圆周率的密率为 \frac{355}{113}\ 何承天的调日法…
牛頓-寇次公式
在數值分析上，梯形法則和辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。 這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距n+1點的值，取得一個n次的多項式來近似原來的函數，再行求積。 梯形法則 梯形法則是： : \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}. 這等同將被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。 要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小…
辛普森積分法
辛普森法則（）是一種數值積分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。最基本的近似，稱為辛普森1/3法，其近似公式如下： : \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] 辛普森3/8法在積分範圍內多一個要求值的點，誤差範圍…
帕德近似
帕德近似（）是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒級數准确，而且当泰勒级数不收敛时，帕德近似往往仍可行，所以多用于在计算机数学中。 例如\frac{1}{1-x}的泰勒级数 1+x+x^2+x^3+\cdots只有在-1时收敛，不如原函数广泛。 定义 给定自然数m和正整数n, 函数 f(x)的[m,n]阶帕德近似为 R(x)= \frac{\sum_{j=0}^{m}a_j x^j}{1+\sum_{k=…
割圆术 (赵友钦)
》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影]] 赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始。 如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 \ell,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d d=\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2} e=r-d=r-\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2} d 的延长线与圆周相交点将圆周…
拉普拉斯方法
在数学上，以皮埃尔-西蒙·拉普拉斯命名的拉普拉斯方法是用于得出下列积分形式的近似解的方法： : \int_a^b\! e^{M f(x)} \, dx 其中的 ƒ(x) 是一個二次可微函数， M 是一個很大的數，而積分邊界點 a 與 b 則允許為無限大。此外，函數 ƒ(x) 在此積分範圍內的 全域極大值 所在處必須是唯一的並且不在邊界點上。則它的近似解可以寫為: :\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx \s…
盈不足术
盈不足术是中国古代数学的一种算術方法。西漢成書的算学经典《九章算術》的第七章即名为“盈不足”。狭义的盈不足术指典型的盈亏问题的算法。广义的盈不足术则指透過双假设法将其他数学问题转化为盈亏问题、再用机械化算法求解的方法。 典型盈亏问题 q=\frac{b_1+b_2} || p=\frac{210}{3}=70 q=\frac{27}{3}=9 |- | 答曰：九人，鸡价七十 || 共有 9 个人，总价为 70 块 || || |} 证明…
渐近展开
在渐近分析中，一个函数的渐近展开被定义为一个函数级数（通常是柯西发散的），该级数的每一个部分和都给出该函数的一个渐近表达式。 形式定义 下面的定义中用到小 o 表示法。 设 {φ()} 为一个函数序列，{} 为一个数列，() 是一个函数，若 : f(z)-\sum_{n=0}^m a_n\phi_n(z)=o(\phi_m(z)),\quad z\rightarrow z_0,\forall m\in\mathbb Z_0^+ 则称级数…
增乘开平方法
增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方算法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来。现存英国剑桥大学图书馆。 杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“杨辉详解开方本源，出《释锁算书》，贾宪用此术”。。 术文 增乘开平方法，以商数乘下法递增求之。 商第一位。上商得数以乘下法为乘方。命上商除实。上商得数以乘下法入…
割圆连比例
割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐誠、项名达等数学家的工作而趋于完善。。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。 历史背景 1701年，法国…
平稳相近似
平稳相近似是一种处理在给定区间内被积分函数快速振荡的定积分的近似法。下列定积分 \int_{a}^{b} f(t,x)e^{ivh(t)}dt 被积分函数 f(t,x)e^{ivh(t)}在{a,b}区间快速振荡，而位相在此区间内的变化相对缓慢。这类积分用拉普拉斯近似无效，必须用平稳相近似法。 原理 F(v,x)=\int_{0}^{\pi} cos(vh(t) dt 位相：vh(t)=v(t-xsin(t)) 被积分函数：cos(v(…
样条插值
在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名為样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。 样条插值 使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度。 线性样条插值 线性样条插值是最…