割圆术 (刘徽)
割圆术是三国时期数学家刘徽在注释《九章算术》时提出的一种数学方法，用于计算圆周率。这种方法通过计算圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积，蕴含了极限思想，是中国古代数学中的重要成就。 历史背景 在刘徽之前，圆周率的计算多采用经验值。常见的"周三径一"（即圆周率=3）仅是粗略估计。东汉科学家张衡曾采用\pi = \frac{736}{232}=3.172和\pi=\sqrt{10}\approx3.16，但刘徽认为\pi=\sqrt{10}的…
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共 15 篇文章
调日法
调日法是南北朝数学家何承天发明的一种系统地寻找最佳逼近（帕德近似）以表示天文数据或数学常数的内插法。据宋史卷七十四：“宋世何承天，更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率；于强弱之际，以求日法……自后治历者，莫不因承天法，累强弱之数”调日法后來传入日本。 中国有学者认为祖冲之可能利用何承天的调日法求得圆周率的约率和密率： :圆周率的约率为 \frac{22}{7}\ :圆周率的密率为 \frac{355}{113}\ 何承天的调日法…
天元术
天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家王恂也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下，黄赤道矢弧若干”一题，王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 x^4+(14823.0624+243.50)x^2-1804707.859375x+14…
割圆术 (赵友钦)
》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影]] 赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始。 如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 \ell,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d d=\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2} e=r-d=r-\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2} d 的延长线与圆周相交点将圆周…
九宫算
九宮算，漢末三國時期數學家徐岳在其著作《數術記遺》中曾記載的古算法之一，乃以「九宮珠算盤」來進行運算的一種算法。 《數術記遺》記載：“九宮算：五行參數，猶如循環。”為該書作注的北周甄鸞提出14種算法後，特別指出了“九宮算”與其他各種算法在原則上的區別：“唯有九宮，守一不移，位依行色，並應無窮”。甄鸞注稱：“九宮者，即二四為肩，六八為足，左七右三，戴九、履一，五居中央。五行參數者，設位之法依五行”。至於“五行之色”，甄鸞注：“一位第一用玄…
牟合方盖
牟合方盖（）是几何体，是两支等半径圆柱躺在平面上垂直相交的交集，像兩個方形蓋子合在一起，稱作「牟合方蓋」。而其英文名稱是源自於一名數學家查爾斯·普羅透斯·斯泰因梅茨，計算出了交集的體積。 但更早之前，阿基米德與祖沖之已經解決了這個問題。他們用不同方法計出球體積是\frac{4}{3} \pi r^3，r為圓柱半徑。祖沖之正是计出牟合方蓋体积为\frac{16}{3} r^3，从而推出球体积公式。 性質 由兩個半徑為的圓柱體交集的部分所形…
重差术
重差术，中国古代数学中的一种应用勾股测量方法。 古代测望数学的一种重要方法，汉代发展起来的一个新的数学分支。《九章算术》的测望问题都是端旁互见，没有可望而不可及的对象。西汉人开始用数学方法测望太阳的高远，最早出现于《周髀算经》“测日高远”，《淮南子》有重差术的雏形。刘徽《九章算术注序》说:“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差。勾股则必以重差为率，故曰重差也。”该方法需要用两次表或矩重复测量，并以两个测得的数据的差进行计算，故称之为重差…
密率
密率即，是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”由南北朝数学家祖冲之发现。 密率是π的一个渐近分数（参见连分数），是分母小于16604的所有既约分数中最接近π的一个（参见最佳逼近）。它的小数点后六位皆与π相同，与其仅有0.000009%的差距，即小于。更加精确的分数近似值，则是，也仍然只有小数点后六位数字相同。而要达到7位数字相同，则要才得以实现。若要8…
割圆连比例
割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐誠、项名达等数学家的工作而趋于完善。。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。 历史背景 1701年，法国…
招差术
招差术是中国古代数学中的多項式插值。秦九韶称为“招法”，“招差”一词为元代数学家、历法家王恂首创。元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式。 秦九韶招法 秦九韶在《数书九章》中多次使用二次插值法。 《数书九章》卷十三 《计造石坝》 《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法（招差）。。 郭守敬王恂招差术 郭守敬和王恂在《授时历》中大量使用三次内插法，他称为“招差”。…
青朱出入图
青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，其法富有东方智慧，特色鲜明、通俗易懂。 歷史 勾股定理（也称商高定理）是中国古代天文观测实践中立竿测影的重大发现，在中国古代数学、天文历法和工程运用极其广泛，影响深远。最早数学著作记述见于《周髀算经》中周公与商高的对话。对话中提及大禹治水时期，勾股定理就已经应用于治水工程中，还延伸至国家建章立制的政治高度—“故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 《周髀算…
勾股容方
《句股容方图》]] 勾股容方是古代中国数学中的一个命题。出自《九章算术》第九卷《勾股》章第十五题。经三国时数学家刘徽论证，其后又经中国历代数学家研究和扩充为股中容直，勾中容横，由此产生一套具有中国传统数学特色的求解直角三角形几何学问题的方法，广泛用于在中国古代几何学和测量学。中国古代没有古希腊欧几里得几何学的平行线概念，采用容方、容横、容直概念，收到异曲同工的效用。 《九章算术》第九卷《勾股》章第十五题；“今有勾五步，股十二步，问勾中容…
九数
九数是春秋战国时代形成数学的九个分支： 郑玄引《周礼注》：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要。” 方田：田地测算。 粟米：粮食换算比率。 差分：赋税的分配。 少广：田亩面积和长阔。 商功：工程土方估计。 均输：运输费用的分配。 方程：即方程式。 盈不足：計算盈虧。 旁要：即勾股定理。 ;《算数书》 《算数书》已经具备九数的雏形，有方田术，差分术，少广术，盈不足术和勾股术等 参考文献
四元术
·四象会元》中的四元术]] 四元術是中國元朝的數學家朱世杰所發明，記載在他的著作《四元玉鉴》裡。這部著作後來亦被收入《四庫全書》之內。四元術脫胎自李冶的天元術。天元術是中國古代利用算籌計算一元高次方程式的方法；而四元術則將這個方法擴展，變成可以計算四元高次方程式。並利用消元法，將方程式逐步簡化如下： : 四元四次 -> 三元三次 -> 二元二次 -> 一元一次 -> 答案 天元術的表示法 天元術利用算籌將高次方程式垂直表示，並逐步消去高…
条段法
《田亩比类乘除捷法》卷下第六问 ]] 条段法又称演段术是根据刘徽赵爽《九章算术》中推证几何图形的面积或体积的出入相补原理发展出来的以几何方法建立代数方程的方法。北宋数学家刘益在《议古根源》中最先将出入相补发展成为演段术一百问。 其后北宋数学家蒋周所著的《益古集》的条段法今也失传，但成元代数学家李冶曾以《益古集》作为 《益古演段》的蓝本。《益古演段》便成为保存宋元时代演段法的最完整的文献。 刘益演段术 刘益《议古根源》一书今已失传，但在南…