》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影]]
赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始。
如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 \ell,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d
d=\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2}
e=r-d=r-\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2}
d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。
令正八边形的边长为 \ell_2
\ell_2=\sqrt{(\ell/2)^2+e^2}
\ell_2=\frac{1}{2}\sqrt{ \ell^2 +4(r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-\ell^2})^2 }
设\ell_3 为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断\ell_3与\ell_2的迭代关系：
\ell_3=\frac{1}{2}\sqrt{ (\ell_2)^2 +4(r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-(\ell_2)^2})^2 }
推而广之：
\ell_{n+1}=\frac{1}{2}\sqrt{ (\ell_n)^2 +4(r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-(\ell_n)^2})^2 }
令 r=1;
\ell_1=\sqrt(2)
\ell_2=\sqrt{2-\sqrt(2)}
\ell_3=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt(2)}}
\ell_4=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt(2)}}}
\ell_5=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt(2)}}}}
……
圆周率
赵友钦指出，分割越细，正多边形的边数愈多，正多边形越接近圆周。
他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形，从而获得
\pi=\frac{3141.592}{1000}
密率
南朝祖冲之发现密率：
\pi\approx \frac{355}{113}
但这个密率比在以后数百年间，无人问津，直到赵友钦重新提及这个密率分数。
赵友钦在获得
\pi\approx \frac{3141.592}{1000}
後，他将 3141.592 乘以 113
113\pi\approx \frac{3141.592}{1000}113=355
即：
\pi\approx \frac{355}{113}
参见
割圆术 (刘徽)
参考文献
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