巴塞尔问题
巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由義大利數學家在1644年提出，瑞士數學家莱昂哈德·欧拉於1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被德國數學家黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。 这个问题是精确…
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共 13 篇文章
圆周率近似值
几个文明古国均在歷史早期就计算出了较精确的的近似值以便于處理生产的需要。公元5世纪时，中國劉宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。微積分的出現，很快地將的計算位數推至數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在20和21世纪，由于计算机技术的快速发展，借助计算机的计算使得的精度急…
割圆术 (刘徽)
割圆术是三国时期数学家刘徽在注释《九章算术》时提出的一种数学方法，用于计算圆周率。这种方法通过计算圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积，蕴含了极限思想，是中国古代数学中的重要成就。 历史背景 在刘徽之前，圆周率的计算多采用经验值。常见的"周三径一"（即圆周率=3）仅是粗略估计。东汉科学家张衡曾采用\pi = \frac{736}{232}=3.172和\pi=\sqrt{10}\approx3.16，但刘徽认为\pi=\sqrt{10}的…
贝利-波尔温-普劳夫公式
贝利-波尔温-普劳夫公式（）提供了一个计算圓周率π的第n位二进制数的（）。这个求和公式是在1995年由西蒙·普勞夫提出的，并以公布这个公式的论文作者、和普勞夫的名字命名。在论文发表之前，普勞夫已将此公式在他的网站上公布。这个公式是： : \pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1…
楚德诺夫斯基算法
楚德诺夫斯基算法（），是一种计算圆周率的快速方法。烏克蘭裔美國數學家於1988年發表了這套演算法，並使用它计算超过十亿位数字。 该算法基于以下快速收敛的超几何级数： : \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k +\frac {3}{2}}}.\! 这个恒等式与拉马努金的某…
沃利斯乘积
沃利斯乘積，又称沃利斯公式，由數學家約翰·沃利斯在1655年时发现。 : \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \c…
布豐投針問題
布豐投針問題（，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者布丰於18世紀提出的一個数学問題： 使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。 解法 設針的長度是\ell，平行線之間的距離為t，x為針的中心和最近的平行線的距離，\theta為針和線之間的銳角。 x \in [0,t/2]且均匀分布，其機率密度函數為 \frac{2}{t}。 \theta \in [0,\pi/2]且均匀分布，其機率密度函…
割圆术 (赵友钦)
》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影]] 赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始。 如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 \ell,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d d=\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2} e=r-d=r-\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2} d 的延长线与圆周相交点将圆周…
Π的莱布尼茨公式
在数学领域，π的莱布尼茨公式说明 :\; \frac{\pi}{4}\!=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \; 右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到\frac{\pi}{4}。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用…
高斯-勒让德算法
高斯-勒让德算法是一种用于计算圆周率（π）的算法。它以迅速收敛著称，只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过，它的缺点是内存密集，因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。 该方法基于德國數學家卡尔·弗里德里希·高斯（，1777–1855）和法國數學家阿德里安-马里·勒让德（，1752–1833）的个人成果与乘法和平方根运算之现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数，以接近它们的算术-几何平均数。 下文的版本也…
梅欽類公式
梅钦类公式（英语：Machin-like formula）是数学中计算圆周率的一个常用技巧，它是梅欽公式的推广，梅钦公式的形式为 :\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} 梅钦依据此公式，把圆周率计算到一百多位小数。 梅钦类公式的形式为： {{NumBlk|:|c_0 \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^N c_n \arctan \f…
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式可以指： 牛顿-莱布尼兹公式：定積分可以用反導函數計算（微積分第二基本定理）。 π的莱布尼茨公式：將π/4寫成單位分數的（帶正負號）無窮和。 行列式的萊布尼茨公式：行列式的一種定义 莱布尼兹法则：高阶导数的求法
割圜密率捷法
割圜密率捷法,清代数学家明安图积三十年之功写成；后子明新、弟子陳際新根据明安图遗稿整理、推究于乾隆三十九年（1774年）出版，时明安图已去世十年。 《割圜密率捷法》根据连比例三角形的性质，详细推导圆周率的九个无穷级数。中算史家李儼说“数与形的结合，堪与笛卡尔所创立的解析几何媲美”。 内容 卷一 步法 ;圆径求周 2\pir=\frac{32r}{4^01!}+\frac{1^232r}{4^13!}+\frac{1^23^232r}{4…