割圜密率捷法

割圜密率捷法,清代数学家明安图积三十年之功写成；后子明新、弟子陳際新根据明安图遗稿整理、推究于乾隆三十九年（1774年）出版，时明安图已去世十年。

《割圜密率捷法》根据连比例三角形的性质，详细推导圆周率的九个无穷级数。中算史家李儼说“数与形的结合，堪与笛卡尔所创立的解析几何媲美”。

内容
卷一 步法
*;圆径求周
2\pir=\frac{32r}{4^01!}+\frac{1^232r}{4^13!}+\frac{1^23^232r}{4^35!}+\frac{1^23^25^27^29^211^213^215^217^219^232r}{4^10*21!}+…………

可以改写成
\frac{\pi}{3}=\sum_{n=0}^\infty\frac{((2n-1)!!)^2}{4^n*(2n+1)!}。

此展开式被清代数学家称为“杜氏第一术”，出自牛顿。
*;弧背求正弦

杜氏九术之二，出自格列高里:.

弧背为a,半径为r,通弦为c

\frac{c}{2}=rsin(\alpha)=a-\frac{a^3 } { 3!r^2 } -\frac{ a^5 }{ 5!r^4 } +\frac{ a^7 }{ 7!*r^6 }+……

*;弧背求正矢

“杜氏九术”之三，出自格列高里

b=rvers\alpha=\frac{ a^2 }{ 2!r }-\frac{a^4 }{ 4!r^3 } +\frac{ a^6 }{ 6!*r^5 }+…………
*;弧背求通弦
2\pir=2a-\frac{(2a)^3}{43!r^2}+\frac{(2a)^5}{4^25!r^4}+\frac{(2a)^7}{4^37!*r^6}+……
*;弧背求矢

h=\frac{(2a)^2}{42!r}-\frac{(2a)^4}{4^24!r}+\frac{(2a)^6}{4^36!*r}+…………
*;通弦求弧背

出自明安图：

2a=\sum_{n=0}^\infty \frac{[(2n-1)!!]^2c^{2n+1}}{4^n(2n+1)!*r^{2n}}。
*;正弦求弧背
出自明安图

a=\sum_{n=0}^\infty \frac{[(2n-1)!!]^2(rsin\alpha)^{2n+1}}{(2n+1)!*r^{2n}}。
*;正矢求弧背

a^2=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2(2b)^{n+1}}{(2n+2)!r^{n-1}}。
*;矢求弧背

(2a)^2=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(n!)^2(8rvers\alpha)^{n+1}}{4^n(2n+2)!r^{n-1}}。
*;余弧求正弦正矢

rvers(90-\alpha)=rcvers(\alpha)

r-rcovers(\alpha)=rsin(\alpha)

rsin(90-\alpha)=rcos(\alpha)

r-rcos(\alpha)=rvers(\alpha)

*;余矢余弦求本弧
*;借弧背求正弦余弦
*;借正弦余弦求弧背
卷二 用法
*角度求八线
*
*直线三角形边角相求
*弧线三角形边角相求
卷三 法解上

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*分弧通弦率数求全弧通弦率法解
*弧背求通弦法解
*通弦求弧背法解
*弧背正弦相求法解
卷四 法解下
*分弧正矢率数求全弧正矢率数法解
*弧背求正矢法解
*正矢求弧背法解
*弧矢相求法解
*弧矢弦正余互用法解
*借弧背求正弦余弦法解
*借正弦余弦求弧背法解

注释
参考文献
*明安图著 《割圜密率捷法》卷一、二、三
*明安图原著 罗见今译注 《割圜密率捷法》释注 内蒙古教育出版社 1998
*Yoshio Mikami Development of Mathematics in China and Japan, Leipzig, 1912
*Jami C, Etude du Livre "Methods Rapides des Trigonometrie et du Rapport Precis du Cercle" de Ming Antu,1985.