布豐投針問題

布豐投針問題（，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者布丰於18世紀提出的一個数学問題：

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。

解法
設針的長度是\ell，平行線之間的距離為t，x為針的中心和最近的平行線的距離，\theta為針和線之間的銳角。

x \in [0,t/2]且均匀分布，其機率密度函數為 \frac{2}{t}。

\theta \in [0,\pi/2]且均匀分布，其機率密度函數為 \frac{2}{\pi}。

x,\theta兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

: \frac{4}{t\pi}\ (x \in [0,t/2], \theta \in [0,\pi/2])

當x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta，針和線相交，然後對 x, \theta積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”({\ell} \le t)以及“長針”({\ell} > t)；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

:P = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(\ell/2)\sin\theta} \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2\ell}{t\pi}

作簡單變換可得\pi = \frac{2\ell}{tP},

當拋n支針，其中有h支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值P \approx \frac{h}{n}。

近似可得\pi \approx \frac{2\ell n}{th}

拉扎里尼的估計
1901年，意大利數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於5/3 \times n/x。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式355/113 = 5/3 \times n/x，得x = 113n/213。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了3408=213 \times 16次。

參見
*伯特蘭悖論
*蒙地卡羅方法

參考文獻
外部連結

• [http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml Buffon's Needle Problem] at cut-the-knot
• [http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml Math Surprises: Buffon's Noodle] at cut-the-knot
• [http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html MSTE: Buffon's Needle]
• [http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html Buffon's Needle Java Applet]
• [http://www.metablake.com/pi.swf Estimating PI Visualization (Flash)]
• [http://www.slideshare.net/cypztm/buffons-needle-fun-and-fundamentals Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation)] at slideshare
• [https://yihui.name/animation/example/buffon-needle/ Animations for the Simulation of Buffon's Needle] by Yihui Xie using the R package [https://cran.r-project.org/package=animation animation]
• [http://www.ventrella.com/Buffon/index.html 3D Physical Animation] by Jeffrey Ventrella

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