割圆术 (刘徽)

割圆术是三国时期数学家刘徽在注释《九章算术》时提出的一种数学方法，用于计算圆周率。这种方法通过计算圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积，蕴含了极限思想，是中国古代数学中的重要成就。

历史背景
在刘徽之前，圆周率的计算多采用经验值。常见的"周三径一"（即圆周率=3）仅是粗略估计。东汉科学家张衡曾采用\pi = \frac{736}{232}=3.172和\pi=\sqrt{10}\approx3.16，但刘徽认为\pi=\sqrt{10}的数值过大。孫吳天文学家王蕃则采用\pi=\frac{142}{45}\approx3.156。

这些数值都只准确到两位数字，且缺乏系统的数学推导。刘徽首次创立了可以计算圆周率到任意精确度的迭代程序，为中国古代数学开辟了新的方向。

基本原理
极限思想
刘徽割圆术的核心思想是：将圆分割为内接正多边形，分割越细，多边形的边数越多，其面积就越接近圆的面积。刘徽用以下文字描述这一思想：

用现代数学语言表达，即：
:\lim_{N \to \infty} S_{6\times 2^N} = S_{\text{圆}}
其中S_{6\times 2^N}表示圆内接正6\times 2^N边形的面积。

圆面积公式的证明
刘徽利用出入相补原理证明了圆面积公式。他将内接正2N边形分割后重新排列，形成一个宽为\frac{N}{2} \cdot L、高为R的长方形（其中L为N边形的边长，R为圆半径）。由此可得：

:S_{2N} = \frac{N}{2} \cdot L \cdot R = （N边形的半周长）\times R

当N \to \infty时，N边形的半周长趋近于圆的半周长，因此：
:S圆 = （圆的半周长）\times R

由此推导出圆周率公式：
:\pi = {} 圆周/直径 {} = \frac{2 \times S_{\text{圆}} / R}{2R} = \frac{S_{\text{圆}}}{R^2}

现代数学视角下的割圆术
从现代数学的角度审视，刘徽割圆术蕴含了丰富的分析学思想，可以视为微积分先驱工作的重要组成部分。

极限思想的早期体现
刘徽提出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，实质上描述了极限过程。若用现代数学语言表达，设圆面积为S，圆内接正n边形面积为S_n，则刘徽断言：

:\lim_{n \to \infty} S_n = S

这一思想比欧洲数学中类似的极限概念早了约一千余年。刘徽不仅直观地认识到多边形面积可以无限逼近圆面积，还通过“余径”的概念从上下两个方向进行夹逼，实际上构建了早期的夹逼定理应用实例。

无穷小分割与积分思想
刘徽割圆术的另一重要贡献在于其对无穷小量的处理。当他考虑“余径”d（即圆心到多边形边的距离与半径之差）时，实际上引入了后来微积分中无穷小量的概念。他指出，随着分割的细化，余径d趋近于0，而“以面乘余径”所得的长方形面积也趋近于0。

这一思路可以看作定积分思想的雏形：圆面积可以理解为无数个窄条矩形面积之和的极限。用现代积分符号表示，设圆的半径为R，则圆面积可表达为：

:S = 2 \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \, dx

刘徽通过多边形逼近的方法，实际上是在用初等方式计算这一积分，尽管他并未发展出积分符号和系统理论，但其算法已暗含了积分计算的基本逻辑。

数列收敛与误差分析
刘徽在计算过程中实际上构造了一个数列：\{S_6, S_{12}, S_{24}, S_{48}, S_{96}, \ldots\}。他不仅观察到此数列单调递增且有上界（圆面积），还进一步分析了相邻两项之差（即面积差D_{2N}=S_{2N}-S_N）的变化规律。

他发现这些面积差构成一个等比数列，公比约为\frac{1}{4}：

:D_{192} : D_{96} \approx 1:4,\quad D_{384} : D_{192} \approx 1:4,\ldots

这一发现使他能够用等比数列求和公式估算无穷多项的总和，从而发展出快捷算法。从现代数值分析的角度看，这相当于对收敛速度进行了定量估计，并利用级数求和加速收敛——这是数值分析中加速收敛技术的早期范例。

与微积分基本定理的暗合
刘徽在证明圆面积公式S = \frac{1}{2} \times 周长 \times半径时，利用出入相补原理将多边形面积转化为长方形面积。这一过程从现代视角看，实质上是将曲线下的面积问题转化为直线图形面积问题，与微积分基本定理中积分与反导数的关系有着内在的相似性。虽然刘徽未能发展出系统的微分学，但他的工作为后世理解曲线形面积的计算提供了重要的思想工具。

历史评价
数学史家李文林指出：“刘徽的割圆术不仅是一个计算圆周率的有效算法，更重要的是它展现了中国古代数学家对无限过程的深刻理解。在微积分诞生之前，能够如此自觉地运用极限思想处理数学问题，在世界数学史上都是罕见的。”吴文俊则从机械化数学的角度评价道：“刘徽割圆术的程序化特征，体现了中国古代数学的机械化思想，与《九章算术》的算法传统一脉相承，为后世数学机械化研究提供了历史借鉴。”

计算程序
刘徽从圆内接正6边形开始，逐次倍增边数，计算各多边形面积。以下以半径1尺（=10寸=1000000忽）为例说明计算过程。

从6边形到12边形
已知圆内接正6边形边长等于半径，即M=10寸。设圆心为O，AB为6边形一边，C为AB中点，连接OC并延长交圆周于D，则AD为12边形一边。

根据勾股定理：
:OP = \sqrt{r^2 - \left(\frac{M}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8.660254寸

:PC = r - OP = 10 - 8.660254 = 1.339746寸

:AC = \sqrt{AP^2 + PC^2} = \sqrt{5^2 + 1.339746^2} \approx 5.17638寸

因此正12边形的边长为5.17638寸。

从12边形到24边形
将上一步求得的12边形边长作为新一轮计算的起点。重复上述步骤，可得24边形边长为2.61052寸。具体计算过程与上一步类似，逐次逼近。

计算至192边形
刘徽继续计算至96边形和192边形，得到：

• 正96边形面积 ≈ 313.584625平方寸
• 正192边形面积 ≈ 314.1024平方寸

圆周率不等式
刘徽利用多边形面积之差推导出圆周率的取值范围。在圖中，黃色部分是N邊形的面積，設為S_N，黃色部分加上綠色部分是2N邊形的面積，設為S_{2N}。 因此，綠色部分是2N邊形與N邊形的面積差：

:D_{2N}=S_{2N}-S_N

紅色部分面積與綠色部分相等。所以紅色部分面積等於D_{2N}。 故

:黃色面積 + 綠色面積 + 紅色面積 = S_{2N} + D_{2N}

:S_{2N}

以N=96为例：
:S_{192} \approx 314.1024
:S_{96} \approx 313.584625
:D_{192} = S_{192} - S_{96} \approx 0.517775

因此：
:314.1024

换算为圆周率：
:3.141024

刘徽取圆面积为314平方寸，得到圆周率的近似值：
:\pi \approx \frac{314}{100} = \frac{157}{50} = 3.14

此即著名的"徽率"。

快捷算法
在计算到192边形后，刘徽发现了一个可以简化计算的规律。他将多边形的面积差构成一个数列，发现：
:D_{384} \approx \frac{1}{4}D_{192},\quad D_{768} \approx \frac{1}{4}D_{384},\quad D_{1536} \approx \frac{1}{4}D_{768},\ldots

这是一个公比为\frac{1}{4}的等比数列。由此可得：
:
\begin{align}
\pi &\approx S_{192} + D_{384} + D_{768} + D_{1536} + D_{3072} + \cdots \\
&\approx S_{192} + D_{192}\left(\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots \right) \\
&\approx S_{192} + D_{192} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} \\
&\approx S_{192} + \frac{1}{3}D_{192}
\end{align}

代入数值：
:\pi \approx 314.1024 + \frac{1}{3} \times 0.517775 \approx 3.1416

即\pi \approx \frac{3927}{1250} = 3.1416。这一方法只需用到96边形的数据，就能达到相当于计算到1536边形的精度，大大简化了计算过程。

迭代公式与连平方根表示
刘徽的割圆术可以用现代数学语言表示为迭代公式。设m_k为圆内接正6\times 2^k边形的边长（半径=1），则：

:m_0 = 1
:m_{k+1} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - m_k^2}}

由此可得圆周率的连平方根表示：
:\pi \approx 3 \times 2^k \times m_k

具体地：
:\pi \approx 6 \times \sqrt{2-\sqrt{2+1}} （正12边形）
:\pi \approx 12 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+1}}} （正24边形）
:\pi \approx 24 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}} （正48边形）
:\pi \approx 48 \times \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}} （正96边形）

祖冲之的进一步发展
南北朝时期的数学家祖冲之沿用了刘徽的割圆术，继续计算至正12288边形，求得正24576边形的面积：

:S_{24576} \approx 3.14159261864

利用刘徽的不等式：
:S_{24576}

其中S_{24576} - S_{12288} \approx 0.0000001021，因此：
:3.14159261864

取八位有效数字，即得著名的祖冲之圆周率不等式：
:3.1415926

这一精度保持了世界纪录长达900年。祖冲之还用何承天的调日法，通过计算得到约率\frac{22}{7} \approx 3.142857和密率\frac{355}{113} \approx 3.14159292。

与阿基米德割圆术的比较
比刘徽早约500年的希腊数学家阿基米德也提出了割圆术，但两者的方法有所不同：

阿基米德通过计算正96边形，得到不等式\frac{223}{71} （即3.140845 \frac{3927}{1250}即源自刘徽。

注释
参见
*割圆术 (赵友钦)
*九章算术
*祖冲之
*圆周率

参考文献
延伸閱讀
*吴文俊主编，《中国数学史大系》第三卷，北京师范大学出版社，ISBN 7-303-04557-0
*傅海伦编著，《中外数学史概论》，科学出版社，ISBN 987-7-03-018477-1
*钱宝琮，《中国数学史》，科学出版社
*李俨，《中国算学史》，商务印书馆
*李文林，《数学史概论（第二版）》，高等教育出版社，2002年，ISBN 978-7-04-011079-9