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Π的莱布尼茨公式

Wikipedia · 2025-08-02 维基百科 👁 1 阅读

在数学领域，π的莱布尼茨公式说明

:\; \frac{\pi}{4}\!=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;

右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到\frac{\pi}{4}。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：
:\;\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1}

证明
考虑下面的幾何數列：

:1 \,-\, x^2 \,+\, x^4 \,-\, x^6 \,+\, x^8 \,-\, \cdots \;=\; \frac{1}{1+x^2}, \qquad |x|

对等式两边积分可得到反正切的幂级数：

:x \,-\, \frac{x^3}{3} \,+\, \frac{x^5}{5} \,-\, \frac{x^7}{7} \,+\, \frac{x^9}{9} \,-\, \cdots \;=\; \tan^{-1} x , \qquad |x|

将 x=1 代入，便得莱布尼兹公式（1的反正切是\frac{\pi}{4}）。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当 x=1 时级数收敛到 \tan^{-1}(1)。一种方法是利用交錯级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到 \tan^{-1}(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。

初等证明
考虑如下分解

:\frac{1}{1+x^2} \;=\;1 \,-\, x^2 \,+\, x^4 \,-\, \cdots \,+\, (-1)^n x^{2n} \;+\; \frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}.\!

对于 |x|，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数 x 成立。上式两端从0到1积分可得：

:\frac{\pi}{4} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \,+ \frac{(-1)^n}{2n+1} \;+\; (-1)^{n+1}\!\! \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx.\!

当 n \rightarrow \infty\! 时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0：

:0 \le \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^{2n+2}\,dx \;=\; \frac{1}{2n+3} \;\rightarrow\; 0\! 当 n \rightarrow \infty\!

这便证明了莱布尼茨公式。

格点与数论证明
通过以(0,0)为圆心，R为半径的圆上及圆内格点（即横坐标与纵坐标皆为整数）个数计算公式来得出，在这里先考虑费马平方和定理：一个奇素数能表示成两个平方数之和当且仅当该素数模4余1，并且不考虑符号与交换律下其形式唯一（由于必为一奇一偶，因此不考虑符号但考虑交换律下必然为两种形式），比如29\equiv1\pmod4可以得出29=2^2+5^2=5^2+2^2，而23\equiv3\pmod4因此无法分解成两个平方和形式。

现在对于所有正整数N，有其唯一的素因数分解形式：

:N=2^k(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m})(q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_n^{\beta_n})

其中\{p_1,p_2,\cdots,p_m\}为互不相同的模4余1的素数，\{q_1,q_2,\cdots,q_n\}为互不相同的模4余3素数。

  • 如果\{\beta_1,\beta_2\cdots,\beta_n\}只要其中一个为奇数，则正整数N不存在表示成两个平方和的形式（比如75=3\times5^2，3的次数为1，因此不能表示成两平方和）；
  • 而当\{\beta_1,\beta_2\cdots,\beta_n\}全为偶数时，此时能表示成平方数形式的数量等于(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_m+1)（不考虑符号但考虑交换律的情况，比如65=5\times13，其中5与13次数均为1，因此有(1+1)(1+1)=4，即65=1^2+8^2=2^2+7^2=7^2+2^2=8^2+1^2）；
  • 2的幂次k不影响N表示两平方和形式的个数，比如不管k是多少，2^k\times65能表示成两个平方和形式都是4种。

接下来引入狄利克雷特征函数，定义\chi(N)=\begin{cases}1&N\equiv1\pmod4\\-1&N\equiv3\pmod4\\0&N\equiv0\pmod2\end{cases}，因此为积性函数，满足\chi(a)\cdot\chi(b)=\chi(ab)。

  • 对于模4余1的素数p以及自然数\alpha，总有p^\alpha\equiv1\pmod4，因此\chi(1)+\chi(p)+\chi(p^2)+\cdots+\chi(p^\alpha)=\alpha+1；
  • 对于模4余3的素数q以及自然数\beta，则有q^\beta\equiv(-1)^\beta\pmod4，因此\chi(1)+\chi(q)+\chi(q^2)+\cdots+\chi(q^\beta)=\begin{cases}1&\beta\equiv0\pmod2\\0&\beta\equiv1\pmod2\end{cases}；
  • 对于2以及自然数k，当k=0时2^0=1，即\chi(1)=1；当k>0时总有\chi(2^k)=0，因此\chi(1)+\chi(2)+\chi(4)+\cdots+\chi(2^k)=1。

由于\chi(a)\cdot\chi(b)=\chi(ab)，而这些结果正好与上述性质相吻合，因此N表示成两个平方和形式的数量可以由其所有因数t相应的\chi(t)之和\sum_{t|N}\chi(t)来表示，比如30=2\times3\times5，于是相应地有\chi(1)+\chi(2)+\chi(3)+\chi(5)+\chi(6)+\chi(10)+\chi(15)+\chi(30)=0。

小于等于R^2能被正整数n整除的正整数有\left\lfloor\frac{R^2}n\right\rfloor个，因此对于半径为R圆上及圆内格点数总和为：
:1+4\left[\left\lfloor\frac{R^2}1\right\rfloor\chi(1)+\left\lfloor\frac{R^2}2\right\rfloor\chi(2)+\cdots+\left\lfloor\frac{R^2}R\right\rfloor\chi(R)\right]=1+4\left(\left\lfloor\frac{R^2}1\right\rfloor-\left\lfloor\frac{R^2}3\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{R^2}{R'}\right\rfloor^\frac{R'-1}2\right)

其中R'为不超过R的最大奇数，再由圆面积为\pi R^2，当R\to\infty时，两者比值极限得1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac\pi4。

参考文献

  • Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.

外部链接

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