在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名為样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
样条插值
使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度。
线性样条插值
线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。
从代数的角度来看，每个Si 都是一个如下
:S_i(x) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i)
的线性函数。
样条在每个数据点都必须连续，即
:S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1}) \qquad \mbox{ , } i=1,\ldots n -1
我们很容易得到
:S_{i-1}(x_i) = y_{i-1} + \frac{y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}(x-x_{i-1}) = y_i
:S_{i}(x_i) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i) = y_i
所以以上论述成立。
二次样条插值
二次样条插值可以构建为
:
S_i(x) = y_i + z_i(x-x_i) + \frac{z_{i+1}-z_i}{2(x_{i+1}-x_i)}(x-x_i)^2
通过选择z_0，然后用递推关系就可以得到系数：
:
z_{i+1} = -z_i + 2 \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}
三次样条插值
对于n+1给定点的数据集\{x_i\}，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果
:S(x)=\left\{\begin{matrix} S_0(x),\ x\in[x_0,x_1] \\ S_1(x),\ x\in[x_1,x_2]\\ \cdots \\ S_{n-1}(x),\ x\in[x_{n-1},x_n]\end{matrix}\right.
表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要：
- 插值特性，S(x_i)=f(x_i)
- 样条相互连接，S_{i-1}(x_i) = S_i(x_i), i=1,\ldots,n-1
- 两次连续可导，S'_{i-1}(x_i) = S'_i(x_i) 以及 S_{i-1}(x_i) = S_i(x_i), i=1,\ldots,n-1.
由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了n+1个条件，内部数据点给出n+1-2=n-1个条件，总计是4n-2个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。
其中一项选择条件可以得到给定u与v的钳位三次样条，
: S'(x_0) = u \,\!
: S'(x_k) = v \,\!
另外，我们可以设
:S(x_0) = S(x_n) = 0 \,\!.
这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。
如果选择另外一些条件，
: S(x_0) = S(x_n) \,\!
: S'(x_0) = S'(x_n) \,\!
: S(x_0) = S(x_n) \,\!
可以得到周期性的三次样条。
如果选择，
: S(x_0) = S(x_n) \,\!
: S'(x_0) = S'(x_n) \,\!
: S(x_0) = f'(x_0),\quad S(x_n)=f'(x_n) \,\!
可以得到complete三次样条。
三次样条的最小性
三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间H^2([a; b])最小化泛函
:J(f)=\int_a^b |f*(x)|^2 dx
的函数。
泛函J包含对于函数f(x)全部曲率\left|\frac{f*(x)}{(1+f'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}\right|的近似，样条是f(x)最小曲率的近似。
由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到n个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。
使用自然三次样条的插值
它可以定义为
:
S_i(x) = \frac{z_{i+1} (x-x_i)^3 + z_i (x_{i+1}-x)^3}{6h_i}
- \left(\frac{y_{i+1}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_{i+1}\right)(x-x_i)
- \left(\frac{y_{i}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_i\right)(x_{i+1}-x)
以及
:h_i = x_{i+1} - x_i \,\!.
通过解下面的方程可以得到它的系数。
:
\left\{\begin{matrix}
z_0 = 0 \\
h_{i-1} z_{i-1}
- 2(h_{i-1} + h_i) z_i
- h_i z_{i+1}
= 6 \left(
\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} -
\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}
\right) \\
z_n = 0
\end{matrix}\right.
示例
线性样条插值
假设要为带有节点
: (x_0,f(x_0)) = (x_0,y_0) = \left(-1,\ e^{-1}\right) \,\!
: (x_1,f(x_1)) = (x_1,y_1) = \left(-\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!
: (x_2,f(x_2)) = (x_2,y_2) = \left(0,\ 1\right) \,\!
: (x_3,f(x_3)) = (x_3,y_3) = \left(\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!
: (x_4,f(x_4)) = (x_4,y_4) = \left(1,\ e^{-1}\right) \,\!
的函数
:f(x) = e^{-x^2}
找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：
:
S(x) = \left\{\begin{matrix}
e^{-1} + 2(e^{-\frac{1}{4}} - e^{-1})(x+1) & x \in [-1, -\frac{1}{2}] \\
e^{-\frac{1}{4}} + 2(1-e^{-\frac{1}{4}})(x+\frac{1}{2}) & x \in [-\frac{1}{2},0] \\
1 + 2(e^{-\frac{1}{4}}-1)x & x \in [0,\frac{1}{2}] \\
e^{-\frac{1}{4}} + 2(e^{-1} - e^{-\frac{1}{4}})(x-\frac{1}{2}) & x \in [\frac{1}{2},1] \\
\end{matrix}\right.
样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：
:
二次样条插值
下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：
:
参见
*三次埃尔米特样条
*NURBS
评论 (0)