帕德近似

帕德近似（）是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒級數准确，而且当泰勒级数不收敛时，帕德近似往往仍可行，所以多用于在计算机数学中。

例如\frac{1}{1-x}的泰勒级数

1+x+x^2+x^3+\cdots只有在-1时收敛，不如原函数广泛。

定义
给定自然数m和正整数n, 函数 f(x)的[m,n]阶帕德近似为

R(x)= \frac{\sum_{j=0}^{m}a_j x^j}{1+\sum_{k=1}^{n}b_k x^k}=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m}{1+b_1 x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n}

并且

\begin{array}{rcl}
f(0)&=&R(0)\\
f'(0)&=&R'(0)\\
f(0)&=&R(0)\\
&\vdots& \\
f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0)\end{array}

对于给定的m,n函数f(x)的[m,n]阶帕德近似是唯一的。

函数f(x)的帕德近似记为

[m/n]_f(x). \,

例子
正弦函數
[6/6]_{\sin(x)}=\frac{ (12671/4363920)x^5-(2363/18183)x^3+x }{ 1+(445/12122)x^2+(601/872784)x^4+(121/16662240)*x^6 }

[6/6]_{\sin(x)}的6+6=12阶泰勒级数展开为

{x-(1/6)x^3+(1/120)x^5-(1/5040)x^7+(1/362880)x^9-(1/39916800)*x^{11}+O(x^{13})}
和\sin(x)的12阶泰勒级数全同：

\sin(x)\approx {x-(1/6)x^3+(1/120)x^5-(1/5040)x^7+(1/362880)x^9-(1/39916800)*x^{11}+O(x^{13})}

指数函数
[5/5]_{exp(x)}=\frac{1+(1/9)x^2+(1/2)x+(1/72)x^3+(1/1008)x^4+(1/30240)x^5}{1+(1/9)x^2-(1/2)x-(1/72)x^3+(1/1008)x^4-(1/30240)x^5 }
其泰勒级数为
{1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+(1/24)x^4+(1/120)x^5+(1/720)x^6+(1/5040)x^7+(1/40320)x^8+(1/362880)x^9+(1/3628800)x^{10}+(23/914457600)x^{11}+O(x^{12})}

与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同：
{1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+(1/24)x^4+(1/120)x^5+(1/720)x^6+(1/5040)x^7+(1/40320)x^8+(1/362880)x^9+(1/3628800)x^{10}+(1/39916800)x^{11}+O(x^{12})}

:又如
f := \frac{1-\cos(2x)^2}{1+\arctan(3x)}

[3/3]_{f(x)}=\frac{(64/75)x^3+4x^2}{ 1+(241/75)x+(148/75)x^2-(1061/225)*x^3 }

雅可比橢圓函數 \operatorname{sn}(x; 3)
\frac{ -(9853969/39583665)z^5-(1493060/2638911)z^3+z }{ 1+(968375/879637)z^2-(1167506/7916733)z^4+(867043/2159109)*z^6 }

第一類 5 階貝塞爾函數 J_5(x)
\frac{-(107/28416000)x^7+(1/3840)x^5 }{ 1+(151/5550)x^2+(1453/3729600)x^4+(1339/358041600)x^6+(2767/120301977600)x^8 }

误差函数
\frac{ (2/15)(49140x+3570x^3+739x^5)}{(165\sqrt\pix^4+1330\sqrt\pix^2+3276*\sqrt\pi)}{ }

菲涅耳積分 C(x)
\frac{ (1/135)(990791x^9\pi^4-147189744x^5\pi^2+8714684160x)}{(1749\pi^4x^8+523536\pi^2x^4+64553216) }

Maple计算
Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数；

参考文献

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
• Baker, G. A., Jr. [http://www.scholarpedia.org/article/Pad%C3%A9_approximant Padé approximant] , [http://www.scholarpedia.org/ Scholarpedia] , 7(6):9756.
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991

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• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
• Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.

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