盈不足术

盈不足术是中国古代数学的一种算術方法。西漢成書的算学经典《九章算術》的第七章即名为“盈不足”。狭义的盈不足术指典型的盈亏问题的算法。广义的盈不足术则指透過双假设法将其他数学问题转化为盈亏问题、再用机械化算法求解的方法。

典型盈亏问题
q=\frac{b_1+b_2} || p=\frac{210}{3}=70
q=\frac{27}{3}=9
|-
| 答曰：九人，鸡价七十 || 共有 9 个人，总价为 70 块 || ||
|}

证明
刘徽在为《九章算术》作注时，利用齐同原理对盈不足术进行了证明：“盈朒維乘兩設者，欲為同齊之意。……齊其假令，同其盈朒……通計齊則不盈不朒之正數，故可並之為實，並盈、不足為法。”

刘徽指出，交叉相乘的意义是使其“同齐”。每人所出为 a_1时，盈 b_1，那么总价变为 b_2倍、每人所出变为 a_1b_2时，盈 b_1b_2。每人所出为 a_2时，不足 b_2，那么总价变为 b_1倍、每人所出变为 a_2b_1时，不足 b_1b_2。这样就“同其盈朒”，两者相加则盈亏相抵，就“不盈不朒”，此时总价为 b_1+b_2倍，每人所出为 a_1b_2+a_2b_1，相除即得到总价不变时每人所出的钱。

双假设法
除盈亏类问题，《九章算术》还通过双假设法，将其他算术问题转化、套入盈亏类问题的算法模型，进行求解。如：

该问题本属于鸡兔同笼，而通过两次假设可以将其转化为盈亏类问题，再用盈不足术求解。

非线性问题
盈不足术实际上是一种线性插值法；对于非线性的问题，所求出的只是其近似值。《九章算术》和刘徽都没有意识到这一点。《九章算术》第七章“盈不足”，则是对双假设法最早的详细说明。

伊斯兰黄金时代的阿拉伯数学家也大量研究了双假设法。著有《双假设法之书》（）。采用欧式几何的方法，第一次对双假设法给出了几何证明。在代数符号尚未普及的时代，这种万能算法在欧洲流传甚广，兴盛一时。李约瑟也认为有此种可能性。这种说法已被中国数学史界广泛接受；但也有学者认为，中国盈不足术是欧洲双假设法的源头的说法仍然缺乏令人信服的证据支持。

参考文献