高斯求积

高斯求積，又稱高斯數值積分，（），是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。

当我们要求解某个函数的积分\int_{-1}^{1}f(x) dx
，其数值解可以由\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)近似，其中w_i, i = 1 ... n为权重。高斯求积仅当函数f(x)可以由在区间[-1,1]上的多项式近似时才能获得准确的近似解，且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数f(x)写作f(x) = W(x)g(x)，其中g(x)是近似多项式，W(x)是已知的权重函数，这样我们就有

:
\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 W(x)g(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i'g(x_i)
。

常用的权重函数有
:
W(x) = (1 - x^2)^{-1/2}
（高斯切比雪夫）
以及
:
W(x) = e^{-x^2}
（高斯埃米特）。

高斯勒让得求积
对于上述的最简单的积分形式，即权重函数W(x)=1时，关联多项式为勒让得多项式P_n(x)，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式，
:
w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)^2]}

x_i為P_n(x)的第i個根。
:
P_n(x) = \prod_{1\le i\le n}(x-x_i)

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

变区间法则
在使用高斯求积的时候必须要将积分区间[a, b]变换到[-1, 1]，可利用變數變換得：

:
\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x

• \frac{a+b}{2}\right)\,dx

對應的高斯求積近似式为

:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)

其他形式
对于如下的通用积分式来说，

:
\int_a^b w(x) f(x) dx

当a = -1，b = 1，w(x)=1时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。