1 − 2 + 3 − 4 + …
相加结果示意图]] 在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整數，依次加後又減、減後又加，如此反复所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符号表示前m项之和，可写作： :\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1} 此无穷级数发散，即其部分和的序列不会趋近于任一有穷极限。也就是說，單從極限的角度看的話，不存在和。不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式： :1-2+3-4+\cdots…
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1 + 2 + 3 + 4 + …
無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作 \sum_{n=1}^{\infin} n 此級數前 n 项的部分和即是三角形數： :\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} 尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透過與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 -\frac{1}{12}，表示為： :1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12} 此結…
1 + 1 + 1 + 1 + …
1 + 1 + 1 + 1 + …，亦寫作 \sum_{n=1}^{\infin} n^0, \sum_{n=1}^{\infin} 1^n或\sum_{n=1}^{\infin} 1，是一個發散級數，表示其部份和形成的數列不會收斂。數列1n可以視為公比為1的等比級數。不同於其他公比為有理數的等比級數，此級數不但在實數下不收斂，在某些特定數字p的p進數下也不收斂。若在擴展的實數軸中，因為部份和形成的數列單調遞增且沒有上界，因此級數的值如…
调和级数
调和级数（）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为： : \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\! 这级数名字源于泛音及泛音列：振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}......等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调…
发散级数
发散级数（）是指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数1 + 2 + 3 + 4 + \cdots和1 - 1 + 1 - 1 + \cdots ，也就是说该级数的部分和全部序列没有一个有穷极限。 如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。像调和级数就是每个项趋于零，但不收斂的级数 :1 + \frac{1}{2} + \frac{1…
发散几何级数
数学中，幾何級數 :\sum_{k=0}^\infty ar^k = a + ar + ar^2 + ar^3 +\cdots 是发散的，当且仅当 | r | ≥ 1，此稱為發散幾何級數（）。有时需要考虑发散级数的求和，通常利用与收敛情况相同的公式来计算发散几何级数的和： :\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}。 例子 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, 公比为 -1。 1 − 2 + …
1 + 2 + 4 + 8 + …
在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。 :\sum_{k=0}^{n} 2^k. 作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。 如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。 在历史和数学教育，是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如…
1 − 2 + 4 − 8 + …
在數學中，1 − 2 + 4 − 8 + …是一個无穷级数，它的每一项都是2的幂而加減號則是交錯地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。 :\sum_{k=0}^{n} (-2)^k 作为实数级数，它发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一個廣義的和為⅓。 歷史上的爭論 戈特弗里德·莱布尼茨於1673年已經細想過這個交替的发散级数。他認為經過從右邊或左邊相減，分別可以得到正無限及負無限，所以…