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调和级数

Wikipedia · 2025-10-29 维基百科 👁 1 阅读

调和级数（）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为：
: \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\!

这级数名字源于泛音及泛音列：振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}......等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样也源自音乐。

历史
早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和級數发散，但知道的人不多。17世纪时，、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

调和序列历来很受建筑师重视；在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。

佯谬
，也即函数y=1/x的不定积分。]]
对刚接触这级数的人而言，调和级数违反直觉——尽管随n不断增大，\frac{1}{n}无限接近0，但它却是发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一例。假设蠕虫沿着1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：n分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：

:\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}。

调和级数发散（证明见本条目“发散”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，这比值也必定在某时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这时刻的n的值极其之大，约为e^{100}，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散，但它发散的速度非常慢。

另一例：假设有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，它们可以叠在一起，并使得每塊骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要骨牌够多，就可以使最上层的骨牌與最底层骨牌水平距離无穷远。较简单的证明如下：

设每一块骨牌的长度为l_0。再设一叠n塊平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为d_n；在只有1塊骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即d_1\,=\,\frac{l_0}{2}。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为l_n，则有：d_n+l_n=l_0。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：

:d_{n+1}\,=\,\frac{(d_n+l_n)n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot (n+1)-\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,l_0-
\frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}

则l_{n+1} = l_0 - d_{n+1} = \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}，即l_n = \frac{l_0}{2} \cdot \frac{1}{n}。

也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的\frac{1}{2}，第二、三层间水平距离是骨牌长度的\frac{1}{4}，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的\frac{1}{6}......依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：

:l_{\mathrm{total}} = \frac{l_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}

调和级数发散，当骨牌数目n趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。

发散
比较审敛法
: \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.

::: \ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!

::: = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]

  • \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!

::: = 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.

因此该级数发散。

积分判别法（integral test）
将调和级数的和与一个瑕积分比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列：长方形宽1单位、高\frac{1}{n}单位（换句话说，每个长方形的面积都是\frac{1}{n}），所有长方形的总面积就是调和级数的和：

矩形面积和

= 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots

而曲线y=\frac{1}{x}以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：

曲线下面积

= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx \;=\; \infty
。这部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确说，这证明了

:
\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1)

这方法的拓展即积分判别法。

反证法
假设调和级数收敛 , 则\lim _{n \to \infty} S_{2n}-S_n=0

但与S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

发散率
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前1043项的和还不足100。调和数列的部分和呈对数增长。特别地，
:\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k

其中\gamma是欧拉－马歇罗尼常数，而\epsilon_k约等于\frac{1}{2k}，并且随着k趋于正无穷而趋于0。这结果由欧拉给出。

当然无论调和级数发散率再怎样低，其都不是发散率最慢的级数，仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。

部分和
调和级数的第n項部分和为：

: H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}，

也叫作第n个调和数。

第n个调和数与n的自然对数的差值（即\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了n=1以外，没有任何调和数是整数。

相关级数
交错调和级数
如下级数：
:
\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots

称作交错调和级数。这级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这级数的和等于2的自然对数：
:1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2。
这公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的特例。

从反正切函数的泰勒展开式可导出相关级数：
:
\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}
。
这级数也称作π的莱布尼茨公式。

广义调和级数
广义调和级数是指有如下形式的级数：

:\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}。

其中a \ne 0且b为实数。

由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。

p-级数
调和级数广义化的其中一種结果是p-级数，定义如下：

:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}，

P是任何正实数。当p=1，p-级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知p-级数在p>1时收敛（此时级数又叫过调和级数（over-harmonic series）），而在p\leq 1时发散。当p>1时，p-级数的和即\zeta (p)，也就是黎曼ζ函数在p的值。

\varphi-级数
对凸实值函数\varphi，若满足以下条件：
:\limsup_{u\to 0^{+}}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}
则级数\textstyle \sum_{n\geq 1} \displaystyle \varphi(n^{-1})收敛。

随机调和级数
随机调和级数定义如下：

:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n}，

其中s_n是恒等分布的独立随机变量，取值范围为+1和-1，取这两值的概率都是\frac{1}{2}。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，并发现这级数收敛的概率为1，并发现这随机变量有些有趣的性质。特别地，这随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为，与\frac{1}{8}只差不到10−42。施姆兰的论文解释了为什么这概率如此接近、但却不是\frac{1}{8}。这概率的精确值由无穷余弦乘积积分C_2除以\pi而给出的。

贫化调和级数
贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这级数是收敛的，其和小於80。实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

拉马努金求和
调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法对它也不适用。但是，调和级数的拉马努金求和存在，且为欧拉-马斯刻若尼常数。

注釋
参见

  • 无穷级数
  • 调和平均数
  • 黎曼ζ函数

参考
外部链接

#发散级数

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