1 + 2 + 3 + 4 + …

無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作 \sum_{n=1}^{\infin} n

此級數前 n 项的部分和即是三角形數：
:\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透過與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 -\frac{1}{12}，表示為：
:1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}
此結果在复分析、量子力学及弦理论等領域中有所应用。

部分和公式的证明
自然数從 1 加到 n 的和是 \frac{n(n+1)}{2} 能用许多方法证明。首先令
:S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n.\,

我们将这些项重排反着写：

:S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 4 + 3 + 2 + 1.\,

将两者相加，对应项相加，我们得到
:2S_n = \underbrace{(n+1) + [(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots+[3+(n-2)]+[2+(n-1)] + (1+n)}_{n},

:2S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) + (n+1)}_{n},

:2S_n = n\cdot(n + 1),

:S_n = \frac{n(n+1)}{2}.

ζ函数的求和与解析连续性
当 s 的实部大于 1，s 次方的黎曼ζ函数等于求和 \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 s = −1 时由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 -\frac{1}{12}。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外給其定義，其拉马努金求和的结果為 -\frac{1}{12}。

物理
在玻色弦理論中，我们想算出一个弦的可能的能量级，特别是最低能量级。非正式地说，每一个弦的谐波可以视为一组 D 无关量子谐振子，这里 D 是时空的维数。如果基本振子频率是 \omega 则一个振子对 n 级谐波的贡献是 \frac{n\hbar\omega}{2}。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 -\frac{\hbar\omega (D-2)}{24}。最后这确实是正确的，与一起，导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力。

历史
在拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：
:“亲爱的先生，我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复，类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，在我的理论中一个无穷数列 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}。如果我告诉你这个，你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所写的行数，你不可能找出我证明的方法。」

注释
引用
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