阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。

定理
設f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收斂，則有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。

若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收斂，則結果顯然成立，無須引用這个定理。

证明
设级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收斂，下面证明：
:\lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} a_n t^n z_0^n = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n

令b_n = a_n z_0^n，则幂级数\sum_{n\geq 0} b_n z^n 的收敛半径为1，并且只需证明
:\lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} b_n t^n = \sum_{n \geq 0} b_n

令b_0^{\prime} = b_0 - \sum_{n \geq 0} b_n，则可化归到\sum_{n\geq 0} b_n =0，于是以下只需要考虑\sum_{n\geq 0} b_n =0 的情况。

设S_n = \sum_{k = 0}^n b_n，那么\lim_{n\to +\infty} S_n = 0。由幂级数性质可知\sum_{n\geq 0} S_n z^n 的收敛半径也是1。于是
: .\ \ \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N b_n t^n = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N (S_n - S_{n-1}) t^n
: = \lim_{N\to +\infty} \left(\sum_{n = 0}^{N-1} S_n (t^n - t^{n+1}) + S_N t^N \right)
: = (1 - t) \sum_{n = 0}^{\infty} S_n t^n（因为\lim_{n\to +\infty} S_n t^n= 0）

对于任意的\epsilon >0，固定N_0 使得
: \forall m > N_0，|s_m|
再固定\delta使得
: \forall \delta \le t \le 1，|1 - t| \sum_{n = 0}^{N_0} S_n \le \frac{\epsilon}{2}

于是对\forall \delta \le t \le 1，
: .\ \ | \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N b_n t^n | \le |(1 - t) \sum_{n = 0}^{N_0} S_n t^n | + |(1 - t) \sum_{n = N_0 + 1}^{\infty} S_n t^n |
:\le \frac{\epsilon}{2} + |1 - t| \frac{\epsilon}{2} \sum_{n = N_0 + 1}^{\infty} |t|^n \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \frac{1 - |t|}
: \displaystyle = \epsilon

这就证明了
:\lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} b_n t^n = 0 = \sum_{n \geq 0} b_n
于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出，对于一个固定的正数\alpha，设区域：
: D_{\alpha} = \left\{ |t| \le 1 \mid \frac{1 - |t|} \le \alpha \right\}
那么只要t 在D_{\alpha}趋近于1，就有阿贝尔定理成立。

例子和应用
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上x^n项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

为计算收敛级数 \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} ，設f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)。于是有\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2

为计算收敛级数\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}，設g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)。因此有\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}

参考来源
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