拉馬努金求和（）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統總和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。
求和法
拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得：
:\begin{align}
{} &\frac{1}{2}f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + \cdots + f\left( n - 1\right) +
\frac{1}{2}f\left( n\right) \\
= &\frac{1}{2}\left[f\left( 0\right) + f\left( n\right)\right] + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( k \right) \\
= &\int_0^n f(x)\,dx + \sum_{k=1}^p \frac{B_{k + 1}}{(k + 1)!}\left[f^{(k)}(n) - f^{(k)}(0)\right] + R_p
\end{align}
拉馬努金寫道：當p趨近於無限大，
:\sum_{k=1}^{x}f(k) = C + \int_0^x f(t)\,dt + \frac{1}{2}f(x) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k - 1)}(x)，
其中C是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設R趨近於0，而x趨近於無限大；當一函數 f(x) 在x = 0不發散：
:C(a)=\int_0^a f(t)\,dt-\frac{1}{2}f(0)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)
其中拉馬努金假設\scriptstyle a \,=\, 0。若設\scriptstyle a \,=\, \infty，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 f(x) 在x = 1不發散，可得：
:C(a) = \int_1^a f(t)\,dt+ \frac{1}{2}f(1) - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(1)
C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。
發散級數的和
下文中，\scriptstyle (\Re)表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。
舉例來說，的\scriptstyle (\Re)為:
:1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}\ (\Re)。
拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念，亦即部分和不會收斂到\scriptstyle (\Re)這個值。
又如的拉馬努金和\scriptstyle (\Re)：
:1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}\ (\Re)
延伸至正偶數冪，可得：
:1 + 2^{2k} + 3^{2k} + \cdots = 0\ (\Re)
而奇數冪的結果則與伯努利數有關：
:1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots = -\frac{B_{2k}}{2k}\ (\Re)
目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數\scriptstyle \sum_{k=1}^{\infty}f(k) 允許唯一的拉馬努金求和結果。
如此拉馬努金求和的定義（標作\scriptstyle \sum_{n \ge 1}^{\Re} f(n)）與早期拉馬努金求和C(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若R(x)趨近於一個有限值極限，當x → +1，則此級數\scriptstyle \sum_{n \ge 1}^{\Re} f(n)是收斂的，而可得
:\sum_{n \ge 1}^{\Re} f(n) = \lim_{N \to \infty}\left[\sum_{n = 1}^{N}f(n) - \int_1^N f(t)\,dt\right]。
特別是如下例子：
:\sum_{n \ge 1}^{\Re} \frac{1}{n} = \gamma
其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。
拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出
: \begin{array}{l}
\int\nolimits_{a}^{\infty }x^{m-s} dx =\frac{m-s}{2} \int\nolimits_{a}^{\infty }x^{m-1-s} dx +\zeta (s-m)-\sum\limits_{i=1}^{a}i^{m-s} +a^{m-s} \\
-\sum\limits_{r=1}^{\infty }\frac{B_{2r} \Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)} (m-2r+1-s)\int\nolimits_{a}^{\infty }x^{m-2r-s} dx \end{array} ，
此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。
迭代方程式為有限的，因為當 m-2r ，
:\qquad \int_{a}^{\infty}dxx^{m-2r}= -\frac{a^{m-2r+1}}{m-2r+1} ；
其中
:I(n,\, \Lambda) \,=\, \int_{0}^{\Lambda}dxx^{n}（參見：。）
要是 \Lambda \rightarrow \infty，拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法，得到有限值的結果。
相關條目
- 發散級數
- 切薩羅求和
- 博雷爾求和
- 拉馬努金和
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參考文獻
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