在數學上，博雷爾求和（）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。
定義
博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。
設A(z)是z的一個形式冪級數
:A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k，
則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數
:\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k。
博雷爾指數求和
設An(z)為下列部分和：
:A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k。
博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為
: \lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z)。
若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z)，則稱A的弱博雷爾和收斂於z，並記為 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) .
博雷爾積分求和
假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則A的博雷爾和定義為
:\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt.
若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z)，則稱A的博雷爾和在z收斂，並記為 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B) 。
實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有t都收斂，只需在0附近收斂為t的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。
基本性質
正定性
(B)和(wB)兩者都是正定的求和法，意味着若A(z)收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：
: \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) 。
(B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收斂，則
: A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a^k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt ，
其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。
(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。
博雷爾和與弱博雷爾和的等價性
對任意的級數A(z)，若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的，則必定是博雷爾可求和的。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。
:定理
:設A(z) 是一個形式冪級數，並限定z ∈ C，則：
:# 若 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) ，則 {\textstyle \sum}a_kz^k = a(z), (\boldsymbol{B})。
:# 若 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B}) ，且 \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0，則 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) 。
與其他求和法的關聯
- (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
- (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式，其中q \rightarrow \infty。
例子
幾何級數
考慮幾何級數
:y(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k
當 |z| \mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}t^k = e^t
因此，上述級數的博雷爾和為
:\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz) \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}
然而，這個積分能在更大的範圍 Re(z) N(z) = (1-zN+1)/(1-z)*，因此其弱博雷爾和為
: \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}，
同樣在Re(z) \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0。
一個交替級數
級數
:y(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!\left(-1 \cdot z\right)^k
對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為
:\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t}
對任意的|t| \int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz) \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^\frac 1 z \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)
（其中Γ是指不完全Γ函數）
這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。
不滿足等價性的例子
以下是所給出的例子的一個擴展。考慮
:A(z) = \sum_{k = 0}^\infty \left(
\sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l(2l + 2)^k}{(2l+1)!} \right)
z^k.
交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為
:
\begin{align}
\mathcal B A(t)&= \sum_{l = 0}^\infty
\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2l+2) t\big)^k}{k!} \right) \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
&= \sum_{l=0}^\infty e^{(2l+2)t}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
&= e^t \sum_{l=0}^\infty \big(e^t\big)^{2l+1} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
& = e^t \sin\left( e^t \right).
\end{align}
在 z = 2 處，可求得博雷爾和為
: \int_{0}^\infty e^t \sin(e^{2t})dt = \int_{1}^\infty \sin(u^2)du = \frac{\sqrt{\pi}}{8} - S(1)
其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 z > 2發散）。
至於求弱博雷爾和時，注意到
: \lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin \left( e^{zt} \right) = 0
僅對 z < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。
相關條目
- 發散級數
- 切薩羅求和
- 拉馬努金求和
參考文獻
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