正切半角公式

正切半角公式又称万能公式，这一组公式有四个功能：
#将角统一为\frac{\alpha }{2}；
#将函数名称统一为\tan；
#任意实数都可以\tan \frac{\alpha }{2}的形式表達，可用正切函数换元。
#在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。
因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。
:\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
:\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
:\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
:\cot \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}
:\sec \alpha = \frac{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}
:\csc \alpha = \frac{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}

而被称为萬能公式的原因是利用\tan \frac{\alpha }{2}的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法。

:
\begin{align}
\tan\left(\frac{\eta}{2} \pm \frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} = -\frac{\cos\eta - \cos\theta}{\sin\eta \mp \sin\theta}, \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{\pm\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\pm\tan\theta}{\sec\theta + 1} = \frac{\pm 1}{\csc\theta + \cot\theta}, ~~~~(\eta = 0) \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac{\theta}{2}\right) & = \frac{1-\cos\theta}{\pm\sin\theta} = \frac{\sec\theta-1}{\pm\tan\theta} = \pm(\csc\theta-\cot\theta), ~~~~(\eta=0) \\[10pt]
\tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{1 \pm \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta \pm \tan\theta = \frac{\csc\theta \pm 1}{\cot\theta}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\tan\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\theta}{2} \right) & = \frac{\cos\theta}{1 \mp \sin\theta} = \frac{1}{\sec\theta \mp \tan\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta \mp 1}, ~~~~(\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\frac{1 - \tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan\frac{\theta}{2}} & = \pm\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}.
\end{align}

万能公式的证明
由二倍角公式，有：

:\sin \alpha
= 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} =\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}}
= \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} \div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{(\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2})\div \cos^2 \frac{\alpha}{2}}
= \frac{2\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}
=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}

\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

再由同角三角函数间的关系，得出

:\cos \alpha = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}}{\frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}} = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

几何证明
在单位圆内，t = \tan\frac{\phi}{2}。根据相似关係，\frac{t}{\sin \phi} = \frac{1}{1+ \cos \phi}，可得出
:t = \frac{\sin \phi}{1+ \cos \phi} = \frac{\sin \phi(1- \cos \phi)}{(1+ \cos \phi)(1- \cos \phi)} = \frac{1- \cos \phi}{\sin \phi}
。

显然\tan \frac{a+b}{2} = \frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}。

双曲函数
此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点(\cosh \theta, \sinh \theta)给出。从(-1,0)到y轴给出了如下等式：

:t = \tanh\frac{1}{2}\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta+1} = \frac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}

可以得到

和

卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。

\theta在T而得出下面的双曲反正切函數和自然对数之间的关系：
:\operatorname{artanh} t = \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}.

參見
*三角恒等式

參考文獻
外部連結

• Planetmath上的[http://planetmath.org/encyclopedia/TangentOfHalvedAngle.html 正切半角公式]