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恆等式列表

Wikipedia · 2025-12-07 维基百科 👁 1 阅读

數學恆等式列表：

定義
恒等式（ Equation）是指等式等号两边永远相等的表达式。恒等式的等号可用恒等号（≡）表示。

乘法公式類
以下是常見的乘法公式：
#分配律：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!
#和平方：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!
#*三項和平方：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!
#差平方：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!
#*三數差平方：(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca\,\!
#平方和：a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)\,\!
#平方差：a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!
#和立方：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!
#差立方：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!
#立方和：a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!
#立方差：a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!
#等冪求和：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!
#等冪和差：a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!
#平方和、平方差延伸：a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab\,\!
#多项式平方：(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!
#三數和立方：(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!

著名等式

  • 貝祖等式：雖然名稱有「等式」一詞，但這是最大公因數的定理，得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。
  • ：由伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。
  • 二项式定理：說明了二項式的冪的代數展開的定理。
  • 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式：(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2\,\!
  • ：\left[x^2+y^2+(x+y)^2\right]^2=2[x^4+y^4+(x+y)^4]\,\!
  • 欧拉四平方和恒等式：如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。
  • ：如果两个数都能表示为八个平方数的和，则这两个数的积也能表示为八个平方数的和。
  • 歐拉恆等式：，包括虛數單位以及二個超越數的等式。
  • ：有關斐波那契数列的等式， F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n.。
  • ：有關平方根倒數函數的傅里叶展開的恆等式。
  • ：有關下取整函数（floor）求和的恆等式。
  • 拉格朗日恒等式：\| \mathbf a \|^2 \ \| \mathbf b \|^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2 = \sum_{1 \le i
  • 三角恒等式：許多有關三角函數的恒等式。

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  • 牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係
  • 帕塞瓦尔恒等式：\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx,，“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算。

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  • 范德蒙恒等式：\binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}，是有关组合数的求和公式。
  • ： \left(A + UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1},

函數恆等式
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  • 斐波那契数列和斐波那契数列

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  • 对数函数积分表

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  • List of trigonometric identities

** 反三角函数

  • 对数恒等式
  • 求和符号
  • 向量恆等式列表

參見
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  • 不等式列表

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參考資料
外部連結

#数学列表 #数学公式 #初等代数 #数学恒等式 #Mathematics-related lists #Mathematical identities

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