对数恒等式

在数学中，有许多对数恒等式。

代数恒等式
简化计算
对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

消去指数
同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

换底公式
:\log_\theta x=\frac{\log_\phi x}{\log_\phi\theta}

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有和的按钮，但却没有\log_{2}的。要计算\log_2(3)，只有计算\frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(2)}{{notetag|或\frac{\ln(3)}{\ln(2)}，两者结果一样}}。

这个公式有许多推论：

1.倒數公式
: \log_a b = \frac {1} {\log_b a}

2.底數n次 對數\frac{1}{n}倍
: \log_{a^n} b = {{\log_a b} \over n}

3.上下對調公式
: a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

和/差公式
下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：
:\log_\theta(\Chi\pm\Upsilon)=\log_\theta\Chi+\log_\theta\left(1\pm\frac{\Upsilon}{\Chi}\right)

普通恒等式
注意 \log_b(0) \!\, 无定义，因为没有一个数 x \!\, 使 b^x = 0 \!\, 成立。而 \log_0(0) \!\, 无定义，因为 \log_0(0) \!\,= \frac{\ln(0)}{\ln(0)}=\frac {0} {0} ，而 \frac {0} {0} 无定义，所以 \log_0(0) \!\, 无定义。

微积分恒等式
极限
:\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1

:\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a

:\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a > 1

:\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a

:\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0

:\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

最后一个极限经常被总结为“x的对数增长得比x的任何次方或方根都慢”。

对数函数的导数
:{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {\ln e \over x }

积分定义
:\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt

对数函数的积分
: \int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

为了记忆积分，可以方便的定义：
:x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)
:x^{\left [ 0 \right ]} = \log x
:x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x
:x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2
:x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3

于是，
:\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}
:\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C

求大数的近似数
对数恒等式可以用来求大数的近似数。
假设我们要得到第44个梅森质数2^{32582657}-1的近似值。先取对数（-1被忽略），2^{32582657}以10为底的对数等于 32,582,657 与\log_{10}(2)的乘积，计算得到9808357.09543=9808357+0.09543。再取指数消去对数，得到最后结果为 10^{9808357}\times10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}.

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。

注释