在数学分析中，隐函数定理（）是一個用來回答下面的問題的工具：
以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？
隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x,y) = 0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 可以表示成关于 的函数：
:y =h(x)
这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。
舉一個簡單例子：假設兩個變量 滿足隱函數 ，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 去(局部的)描述這單位圓的圖形？
答案是：除了 跟 兩點外，其他點局部上都有 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。
例子
有函數 f(x,y)=x^2 + y^2，那么方程式 f(x,y)-1=0 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 y = h(x) 的形式的，因为每个x \in (-1,1),都有两个y的值与之对应，即\pm\sqrt{1-x^2}。
然而在某些點附近，局部地用 x 來表示 y 是可能的。比如给定圆上一点 (x,y)，如果 y>0，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 y 可以写成关于 x 的函数：y = \sqrt{1-x^2} 。如果 y，在圓的下半部分 y 也可以写成关于 x 的函数：y = - \sqrt{1-x^2}。
但是，在点 (\pm1,0) 的附近，y 无法写成关于 x 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 x，都有两个 y 的值与之对应，這種情況下 y 無法寫成 x 的函數。
定理的叙述：欧几里得空间的情况
设 为一个连续可微函数。这里 被看作是两个空间的直积： ，于是 中的一个元素写成 的形式。 我們的目標是找到一個函數 ，讓這函數的圖形(graph of a function), , 局部上恰好等於集合{ }，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 的局部存在。
固定一点 使得 ，我們希望在點 的附近找到一個 关于 的函数 ，严格来说，就是说存在 的鄰域 和 的邻域 以及函數：，使得 的函數的圖形 剛好等於 中 的集合，也就是說：
:\{ (\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) \mid \mathbf x \in U \} = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y})\in U \times V \mid f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{0} \}。
要保證这样的函数 存在，函数 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 ， 的雅可比矩阵写作：
:(Df)(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \left[\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &
\cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})
\end{matrix}\right|\left.
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\end{matrix}\right] = [X|Y]
其中的矩阵 X 是函數 关于變數 的偏微分，而矩陣 Y 是 关于變數 的偏微分。隐函数定理说明了：如果Y是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 、 和函数 就会存在。正式的敘述就是：
{{Quote box|align = center|width = 90%| quote = 设 为连续可微函数，讓 中的坐标记为 , 。给定一点 使得 （，是個零向量）。如果 矩陣 是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣 Y），那么存在 的邻域 、 的邻域 以及唯一的连续可微函数 ，使得
:h(\mathbf{a}) = \mathbf{b}
且
:f(\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) = \mathbf{0},\,\, 對所有的 \mathbf{x}\in U。
}}
一般情形
设E_1、E_2和F是三个巴拿赫空间，而U、V分别是E_1、E_2上的两个开集。设函数：
:f : U \times V \rightarrow F
是一個k~(k \ge 1)階可微函數（見Fréchet導數），并且对于E_1 \times E_2中的一点(x_0, y_0)，满足：
- f(x_0, y_0)=0
- 映射 y\mapsto (Df(x_0, y_0))(0,y) 是一個從E_2到F的同構
那么有如下结论：
: 存在x_0的邻域 U_0 \subset U 、 y_0的邻域 V_0 \subset V ，以及 k 階Fréchet可微函數\varphi : U_0 \rightarrow V_0，使得：
: 对任意(x, y) \in U_0 \times V_0，只要f(x, y)=0，就有y = \varphi (x)。
参见
*反函数定理
*不动点定理
*压缩映射定理
*微分
参考来源
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