在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。
定义
设V, W和X是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数
:B:V\times W\rightarrow X
使得对于任何W中w，映射
:v\mapsto B\left ( v,w \right )
是从V到X的线性映射，并且对于任何V中的v，映射
:w\mapsto B(v,w)
是从W到X的线性映射。
换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。
如果V=W并且有B\left ( v,w \right )=B\left ( w,v \right )对于所有V中的v,w，则我们称B是对称的。
当这里的X是F的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。
如果使用在交换环R上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到n元函数，这里正确的术语是“多线性”。
对非交换基础环R和右模M_R与左模_RN的情况，我们可以定义双线性映射B:M\times N\rightarrow T，这里的T是阿贝尔环，使得对于任何N中的n,m\mapsto B\left ( m,n \right )是群同态，而对于任何M中的m,n\mapsto B\left ( m,n \right )是群同态，并还满足
:B\left ( mt,n \right )=B\left ( m,tn \right )
对于所有的M中的m，N中n和R中的t。
定义V, W,X是有限维的，则L\left ( V,W;X \right )也是有限维的。对于X=F就是双线性形式，这个空间的维度是\dim V\times\dim W（尽管线性形式的空间L\left ( V\times W;K \right )的维度是\dim V+\dim W）。看得出来，选择V和W的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵B(e_i,f_j)，反之亦然。现在，如果X是更高维的空间，我们明显的有\dim L\left ( V,W;X \right )=\dim V\times\dim W\times\dim X。
例子
- 矩阵乘法是双线性映射M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)。
- 如果在实数\mathbb{R}上的向量空间V承载了内积，则内积是双线性映射V\times V\rightarrow\mathbb{R}。
- 一般的说，对于在域F上的向量空间V，在V上的双线性形式同于双线性映射V\times V\rightarrow F。
- 如果V是有对偶空间V^的向量空间，则应用算子b(f,v)=f(v)是从V^\times V到基础域的双线性映射。
- 设V和W是在同一个基础域F上的向量空间。如果f是V^的成员而g是W^的成员，则b(v,w)=f(v)g(w)定义双线性映射V\times W\rightarrow F。
- 在\mathbb{R}^3中叉积是双线性映射\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3。
- 设B:V\times W\rightarrow X是双线性映射，而L:U\rightarrow W是线性算子，则(v,u)\rightarrow B(v,Lu)是在V\times U上的双线性映射。
- 零映射，定义于B(v,w) = o对于所有V\times W中的(v,w)，是从V\times W到X的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果(v,w)\in V\times W，则B(v,w)= B(v,o)+B(o,w)=o+o。
参见
- 张量积
- 多线性映射
- 半双线性形式
- 双线性滤波
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