高斯圓問題

數學中，高斯圓問題（）問以原點為中心，r為半徑的圓內，有多少個。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。

問題
考慮\mathbb{R}^2中以原點為中心和以r\ge 0為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點(m,n)使m和n都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是x^2+y^2= r^2，問題等價於詢問有多少對整數m和n使得

: m^2+n^2\leq r^2.

以N(r)表示輸入為r時的答案。以下第一行先列出r由0至12時，N(r)的值，第二行列出 \pi r^2 四捨五入到最接近的整數，以作比較：

:: 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441
:: 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452

解決方案和猜想的上下界
N(r)大概是\pi r^2 ，半徑範圍內的區域r 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， \pi r^2 。因此，應該預期

: N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

對於某些錯誤項E(r)具有相對較小的絕對值。找到正確的上限\mid E(r)\mid因此是問題採取的形式。注意r不必是整數。後N(4)=49 一個有N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 .在這些地方 E(r)之後它減少（以 2 \pi r ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明

: | E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.

谢尔品斯基将指數改进至2/3，以大O符号表示，即證明|E(r)| = O(r^{2/3})，引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為37/56的結果（此數略小於2/3）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為13/20與24/37的上界。
{{Unsolved|數學|設E(r)表示以原點為圓心，r為半徑的圓，其面積與圓內整點數之差，則使|E(r)| = O(r^{t+\varepsilon})對一切\varepsilon > 0皆成立的最小t值為何？}}
下界方面，哈代和Landau分別獨立證明

: | E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

其中用到小o表示。據推測，正確的界線是

: | E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).

設E(r)\le Cr^t總成立，則關於t的最小可能值t_0，目前所知的結果是

: \frac{1}{2}

其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由证明。

確切形式
N(r)的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式：

: N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).

這是雅可比的結果，該定理來自。

如果將r_2(n)定義為將自然數n寫為兩個整數平方之和的方法數，則r_2(n)/4是一个积性函数，且可寫出較簡單的和式：

: N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n)

Hardy首次發現了以下的最新成果：

: N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}} J_1(2 \pi x \sqrt n),

其中J_1表示第一種階數為1的貝塞爾函數。

概論
儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

原始圓問題
另一個概括是計算互質整數解數量m,n的不等式

: m^2+n^2\leq r^2.\,

此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量V(r)然後的值V(r)為了r取小整數值是

: 0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341）

使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為6/\pi^2，容易證明

: V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).

與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是221/304+\varepsilon。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是

: V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))

其中c為正常數 。 特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何\varepsilon>0，1-\varepsilon的誤差項沒有限制。

參考文獻
外部鏈接
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