茶年 · 中文维基百科

柯西函數方程

Wikipedia · 2025-07-05 维基百科 👁 1 阅读

柯西函數方程是以下的函數方程：
: f(x+y)=f(x)+f(y) \
此方程的解被稱為加性函數。

方程的解
在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為 f(x) = cx \ ，其中c任意給定的有理數。

在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：

  • 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
  • 若 f 在任一個區間上是單調的
  • 若 f 在任一個區間上是有界的

另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由使用基的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數c \ 使得 f(cx) \ne cf(x) \ 的解稱為柯西─哈默方程（）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（），其中就用到柯西-哈默方程。

在有理數集下的證明
先設y = 0 \ ，得到：
: f(x+0) = f(x) + f(0) \
: f(0) = 0 \

再設y = -x \ ：
: f(x-x) = f(x) + f(-x) \
: f(-x) = -f(x) \

反覆設 y = x \ 、 y = 2x \ 、...、 y = x + x + \cdots + x ，可以得到
: f(mx) = m f(x) \ ...(1)

設x = \frac{y}{n}並代入(1)式得到：
: f \left( \frac{y}{n} \right) = \frac{1}{n} f(y) \
:或者 f \left( \frac{x}{n} \right) = \frac{1}{n} f(x) \ ...(2)

對於任意有理數\frac{m}{n}，設y = \frac{m}{n}x ，根據(1)、(2)兩式可知：
: f \left( \frac{m}{n}x \right) = \frac{m}{n} f(x) \

上式又可改寫為
: f \left( \alpha q \right) = q f(\alpha) \qquad \forall q \in \mathbb{Q}, \alpha \in \mathbb{R} \

令\alpha = 1 \ 就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質
以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形y = f(x) \ 在\mathbb{R}^2中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解f滿足f(q) = q, \forall q \in \mathbb{Q}，且能找到實數\alpha \in \mathbb{R}滿足f(\alpha) \neq \alpha，同時設f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點(x,y)為圓心，其中滿足x,y \in \mathbb{Q}, x \neq y。令實數r > 0為半徑的\frac{2}{\sqrt[]{5}}倍，即半徑為\frac{\sqrt[]{5}r}{2}。

令\beta = \frac{y - x}{\delta}，存在一個有理數b\neq 0滿足：

:\left| \beta - b \right|

類似地，存在一個有理數a使得：

:\left| \alpha - a \right|

設實數X,Y滿足：
:X = x + b (\alpha - a) \
:Y = f(X) \

從原方程和以上的關係式可以得知：

: Y = f(x + b (\alpha - a)) \
:: = f(x) + f(b \alpha) - f(ba) \
:: = x + b f(\alpha) - b f(a) \
:: = (y - \delta \beta) + b (\alpha + \delta) - b a \
:: = y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b) \

由以上關係式可知\left| X-x \right|

∴(X,Y) \ 在指定的小圓內，

於是(X,Y) \ 在原本較大的圓內；

即在\mathbb{R}^2中任意給定的圓內皆包含y=f(x) \ 圖形的一點；

即y=f(x) \ 的圖形在\mathbb{R}^2中稠密，得證。

另一方法：如f 不是线性函数，存在U=(u,f(u)), V=(v,f(v))在\mathbb{R}^2独立。任取X \in\mathbb{R}^2, X=\alpha U + \beta V, \alpha和\beta是有理数序列的极限, X是f 的图形的聚点。

其他解的形式與證明
與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合\alpha \mathbb{Q}上也成立，其中\alpha \in \mathbb{R} （表示所有有理數乘上\alpha \ 的積的集合，以下亦同）

我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在\mathbb{Q}上存在一個\mathbb{R}的基底，也就是這樣的集合：
A \sub \mathbb{R}，使得對於任何實數x \ ，存在唯一的有限集合
\left\{ a_1,\dots , a_n \right\} \sub A
以及唯一對應的 n 個有理數\left\{ \lambda_1, \dots , \lambda_n \right\}，滿足：
: x= \sum_{i=1}^n { \lambda_i a_i }

設想函數方程在實數集的子集x \mathbb{Q}, x \in A上成立，即滿足f(y) = g(x)\,y，其中 y 是 x 的有理數倍。
運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：
: f(x) = \sum_{i=1}^n { g(a_i) \lambda_i a_i }
對於所有g: A\rightarrow \mathbb{R}，以上f(x) 是函數方程的解。其中f 為線性的充要條件是 g是常數函數。

參考資料
外部連結

#算術函數

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。