克罗内克积

数学上，克罗内克积（）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。

尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以約翰·格奧爾格·澤哈斯（Johann Georg Zehfuss）名字命名为澤哈斯矩阵。

定义
如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积A \otimes B则是一个 mp × nq 的分块矩阵
: A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.
更具体地可表示为
: A \otimes B = \begin{bmatrix}
a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}
\end{bmatrix}.

我们可以更紧凑地写为

(A\otimes B)_{p(r-1)+v, q(s-1)+w} = a_{rs} b_{vw}

例子
:
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\otimes
\begin{bmatrix}
0 & 3 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\
1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\
3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\
3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\
\end{bmatrix}

=
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0 & 6 \\
2 & 1 & 4 & 2 \\
0 & 9 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
.

特性
双线性和结合律
克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：
: A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C \qquad \mbox{(if } B \mbox{ and } C \mbox{ have the same size)},
: (A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C \qquad \mbox{(if } A \mbox{ and } B \mbox{ have the same size)},
: (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
: (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),
其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。

A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得
: A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.
如果A和B是方块矩阵，则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = QT。

混合乘积性质
如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：
: (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = \mathbf{AC} \otimes \mathbf{BD}.
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A \,\otimes\, B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：
: (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \otimes \mathbf{B}^{-1}.

克罗内克和
如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，\mathbf{I}_k表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和\oplus为：
: \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B}.

谱
假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1，......，λn为A的特征值，μ1，......，μq为B的特征值。那么A \,\otimes\, B的特征值为：
: \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.
于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：
: \operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{tr} \mathbf{A} \, \operatorname{tr} \mathbf{B} \quad\mbox{and}\quad \det(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})^q (\det \mathbf{B})^n.

奇异值
如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有rA个非零的奇异值，它们是：
: \sigma_{\mathbf{A},i}, \qquad i = 1, \ldots, r_\mathbf{A}.
类似地，设B的非零奇异值为：
: \sigma_{\mathbf{B},i}, \qquad i = 1, \ldots, r_\mathbf{B}.
那么克罗内克积A \,\otimes\, B有rArB个非零奇异值，它们是：
: \sigma_{\mathbf{A},i} \sigma_{\mathbf{B},j}, \qquad i=1,\ldots,r_\mathbf{A} ,\, j=1,\ldots,r_\mathbf{B}.
由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：
: \operatorname{rank}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{rank} \mathbf{A} \, \operatorname{rank} \mathbf{B}.

与抽象张量积的关系
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y，那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y，关于V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的类似基。

与图的乘积的关系
两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见第96个练习的答案。

转置
克罗内克积转置运算符合分配律：
:(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

矩阵方程
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB = C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
: (B^{T} \otimes A) \, \operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(AXB) = \operatorname{vec}(C).
这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB = C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。.

在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。

如果把X的行堆起来，形成列向量x，则 AXB 也可以写为 (A \otimes B^{T})x 。

參考文獻

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外部链接
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• [http://mathworld.wolfram.com/MatrixDirectProduct.html MathWorld Matrix Direct Product]