二元运算

二元运算是種数学运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即元数为2的运算。比如說，兩個整數的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。

定义
如果從集合 A 對自己的笛卡儿积 （也就是 A \times A ）取出的任意 (a,\,b) ，都會對應 A的某個值 \mathrm{F}(a,\,b) ，那對應規則 \mathrm{F} 的本身就被稱為二元運算。

\mathrm{F}(a,\,b) 通常写为 a\mathrm{F}b ，而且比起使用字母，二元运算時常以某种运算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 \mathrm{F}:A \times A\rightarrow A 這個記號本身就保證了：「只要 a,\,b\in A 就會有 a\mathrm{F}b \in A 」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。

常用性质和术语
关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

單位元
设 \circ : A\times A \to A 是集合 A 上的二元运算，e \in A，则：

• 称 e 为一個 A 的左幺元，若 e 满足：\forall a \in A, e \circ a = a；
• 称 e 为一個 A 的右幺元，若 e 满足：\forall a \in A, a \circ e = a；
• 称 e 为 A 的幺元，若 e 既是左幺元、又是右幺元。

逆元
设 \circ : A\times A \to A 是集合 A 上帶有單位元 e 的二元运算， a, a' \in A 。则：

• 称 a' 是一個 a 的左逆元，若 a,a' 满足： a' \circ a = e。
• 称 a' 是一個 a 的右逆元，若 a,a' 满足： a \circ a' = e。
• 称 a' 是 a 的逆元，若 a' 既是 a 的左逆元、又是 a 的右逆元。這種情況下 a' 常被寫作 a^{-1} 或 -a 。

零元
设 \circ : A\times A \to A 是集合 A 上的二元运算， z \in A ，则：

• 称 z 为一個左零元，若 z 满足： \forall a \in A, z \circ a = z ；
• 称 z 为一個右零元，若 z 满足： \forall a \in A, a \circ z = z ；
• 称 z 为零元，若 z 既是左零元、又是右零元。

零因子
设 \circ : A\times A \to A 是集合 A 上的帶有零元素 z 的二元运算， a \in A 且 a \neq z 。则：

• 称 a 是一個左零因子，若 a 满足： \exists b \in A \setminus \{z\} ，使得 a \circ b = z 。
• 称 a 是一個右零因子，若 a 满足： \exists b \in A \setminus \{z\} ，使得 b \circ a = z 。
• 称 a 是一個零因子，若 a 既是左零因子、又是右零因子。

交換律
设 \circ : A\times A \to A 是集合 A 上的二元运算，则：
称 \circ 满足交换律，若：\forall a, b \in A, a \circ b = b \circ a；

结合律
设 \circ : A\times A \to A 是集合 A 上的二元运算，则：
称 \circ 满足结合律，若： \forall a, b, c \in A, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)；

消去律
设\circ: A\times A\to A是集合A上的二元运算，则：

称\circ满足左消去律，若\circ满足：\forall a,b,c\in A, \text{if } a\neq b, \text{then } c\circ a \neq c\circ b

称\circ满足右消去律，若\circ满足：\forall a,b,c\in A, \text{if } a\neq b, \text{then } a\circ c \neq b\circ c

称\circ满足消去律，若\circ同时满足左消去律与右消去律。

幂等律
设\circ: A\times A\to A是集合A上的二元运算，则：
称\circ满足幂等律，若\circ满足：\forall a\in A,a\circ a = a；

幂幺律
设\circ: A\times A\to A是集合A上的二元运算，i是A在\circ下的幺元，
则：称\circ满足幂幺律，若\circ满足：\forall a\in A,a\circ a = i（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律
设\circ: A\times A\to A是集合A上的二元运算，z是A在\circ下的零元，
则：称\circ满足幂零律，若\circ满足：\forall a\in A，有a\circ a = z（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律
设\circ: A\times A\to A和\diamond: A\times A\to A是集合A上的两个二元运算，则：

• 称\circ对\diamond 满足左分配律，若\circ，\diamond 满足：\forall a,b,c\in A，有a \circ (b \diamond c) = (a \circ b) \diamond (a \circ c)；
• 称\circ对\diamond 满足右分配律，若\circ，\diamond 满足：\forall a,b,c\in A，有(b \diamond c) \circ a = (b \circ a) \diamond (c \circ a)；
• 称\circ对\diamond 满足分配律，若\circ對\diamond 同時滿足左分配律和右分配律。