交集 · 茶年 · 中文维基百科

在集合论和数学中，两个集合A和B的交集（Intersection）是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集
交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 A \cap B ：

: (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{
(x \in A \cap B)
\Leftrightarrow
\left[
(x \in A)
\wedge
(x \in B)
\right]
\right\}

也就是直觀上：

A和B的交集写作「A\cap B」，「對所有 x ， x \in A \cap B 等價於 x \in A 且 x \in B」

例如：集合\{1,2,3\}和\{2,3,4\}的交集为\{2,3\}。数字9不属于素数集合\{2,3,5,7,11,\ldots \}和奇数集合\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}的交集。

若两个集合A和B的交集为空，就是说它们彼此没有-{zh-hans:公共元素; zh-tw:相同的元素;}-，则他们不相交，写作：A\cap B = \varnothing。例如集合\{1,2\}和\{3,4\}不相交，写作\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合A,B，C和D的交集为A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))。交集运算满足结合律。即：
:A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C

任意交集
以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 \mathcal{M} ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

:\bar{\mathcal{M}} :=\left\{
A \,|\,
(\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)
\right\}。

也就是直觀上蒐集所有 M^c 的集合，這樣的話有：

:x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists A)[
(x \in A)
\wedge
(\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)
]

根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

:x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists M)[
(M \in \mathcal{M})
\wedge
(x \notin M)
\wedge
(\exists A)(A = M^c)
]

但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式：

:(\exists A)(A = M^c)

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

:x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists M \in \mathcal{M})(x \notin M)

換句話說：

:x \in {\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c
\Leftrightarrow
(\forall M \in \mathcal{M})(x \in M)

那可以做如下的符號定義：

:\bigcap\mathcal{M}
:=
{\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c

稱為 \mathcal{M} 的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有 x ， x \in \bigcap\mathcal{M} 等價於對任何 \mathcal{M} 的下屬集合 M ，都有 x \in M」

例如：

:A\cap B = \bigcap \{A,\,B\}

類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

: \bigcap_{A\in \mathcal{M}} A。

但大多數人會假設指标集 I 的存在，換句話說

: 若 I \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} 則 \bigcap_{i\in I} A(i) := \bigcap \mathcal{M}

在指标集 I 是自然数系 \N 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

: 若 \N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} 則 \bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i) := \bigcap \mathcal{M}

也可以更粗略直觀的將 \bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i) 写作A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots。

参见

交集