逻辑异或

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在-{zh-hant:數位;zh-hans:数字}-逻辑中，逻辑算符互斥或（）是对两个运算元的一种邏輯分析类型。与一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。

对于命题 p, q，p异或q通常记作p \operatorname{XOR} q或p \oplus q。在编程语言中，常写作p ^ q。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。

真值表
异或运算p \oplus q的真值表如下：

无论怎样改变同一行中p, q, p \oplus q的位置，真值表都是成立的。

其他表示
在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与\land，逻辑或\lor和逻辑非\lnot表示为：
:
\begin{align}
p \oplus q & = (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) = p\overline{q} + \overline{p}q \\
& = (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q) = (p+q)(\overline{p}+\overline{q}) \\
& = (p \lor q) \land \lnot (p \land q) = (p+q)(\overline{pq})
\end{align}

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：
: p \oplus q = \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质
交换律：p \oplus q = q \oplus p

结合律：p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r

恒等律：p \oplus 0 = p

归零律：p \oplus p = 0

对合运算：p \oplus q \oplus q = p\oplus 0 = p

与抽象代數的關係
尽管算子\wedge（逻辑合取）与\lor（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统(\{T, F\}, \wedge) and (\{T, F\}, \lor)只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统(\{T, F\}, \oplus)是一个交换群。因此，算子\wedge与\oplus的结合在集合\{T, F\}上作用就产生了最基本的二元域F_2。这个域可以得出所有运用(\land, \lor)可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

類似符號
應用
使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值
C/C++

void swap(int a, int b) {
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}

Java

public void swap(int a, int b) {
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}

C#

public void swap(ref int a,ref int b)
{
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}

Rust

fn swap( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {
num_a ^= num_b;
num_b ^= num_a;
num_a ^= num_b;
}

雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

参考来源
参见

• 异或门
• 异或密码