半直积

在數學中，特別抽象代數裏的群論中，半直積（）是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。

内半直积
定义
令 G 为群， N 为 G 的一个正规子群， H 是 G 的一个子群。下列命题等价:

• G = NH 且 N \cap H = \{e\} （ e 是 G 的單位元）
• G 的每个元素可以唯一表示為 H 的一个元素和 N 的一个元素的积
• 自然的嵌入 H \rightarrow G , 和自然的投影 G \rightarrow G/N 的复合是 H 和 G/N 之间的同构
• 存在同态 G \rightarrow H ，它的像是 H 本身而其核是 N。

如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称 G 是一个 N 和 H 的内半直积，或者说 G 在 N 上“分裂(splits)”，并写作 G = N \rtimes H。

基本事实
若 G 是其正规子群 N 和子群 H 的内半直积，而且 N 和 H 都是有限的，则 G 的阶等于 N 和 H 的阶的乘積。

與直积不同，内半直积通常不是唯一的。令 G 和 G' 為包含 N 为正规子群，并且都包含 H 为子群的兩個群，而且二者都是 N 和 H 的内半直积， G 與 G' 未必同构。

外半直积
定义
给定任意两个群 N 和 H（不必是某个群的子群）和一个群同态 \varphi\colon\ H\to\operatorname{Aut}(N)(其中 \operatorname{Aut}(N) 表示 N 的所有自同构组成的群)，我们定义如下的一个新群 N \rtimes_\varphi H，称作 N 和 H 相对于 \varphi 的外半直积:

设定集合为集合直积 N\times H，给定群运算 \ast 为
:(n_1,\ h_1)\ast(n_2,\ h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),\ h_1h_2),\quad \forall n_1,\ n_2\in N,\ h_1,\ h_2\in H.
这确实定义了一个群：以 (e_N,\ e_H) 为幺元，以 (\varphi(h^{-1})(n^{-1}) 为元 (n,\ h) 之逆。
基本事实
给定外半直积 N\rtimes_\varphi H，N\times\{e_H\}\cong N 为其正规子群，\{e_N\}\times H\cong H 为其子群，而外半直积 N\rtimes_\varphi H 是这两个子群的内半直积。

另一方面，若 G 分解为内半直积 N\rtimes H，令 \varphi\colon\ H\rightarrow\operatorname{Aut}(N) 为同态
:h\mapsto\varphi(h)\colon n\mapsto hnh^{-1}，
则存在从 G 到外半直积 N\rtimes_\varphi H 的同构，使得 nh\leftrightarrow (n,h)。在 G 中有显然代数变形：
:(n_1h_1)(n_2h_2)=n_1h_1n_2h_1^{-1}h_1h_2=n_1(h_1n_2h_1^{-1})(h_1h_2)
恰为上述外半直积定义的深层原因，亦可便于理解记忆其概念。

群分裂引理（splitting lemma）的一个版本指出，群 G 同构于两群 N 和 H 之外半直积，当且仅当存在短正合列
:0\rightarrow N\ \overset{u}{\rightarrow}\ G\ \overset{v}{\rightarrow}\ H\rightarrow 0
与群同态 r\colon\ H\to G 使得 v\circ r = \operatorname{id}_H，即 H 上的恒等映射。此时，给出 \varphi\colon\ H\to\operatorname{Aut}(N) 为
:\varphi(h)\colon\ n\to u^{-1}(r(h)u(n)r(h^{-1})).

例子
有 2n个元素的二面體群 Dn 同构于循环群Cn 和C2的半直积。这里，C2的非单位元作用于Cn，将元素变成其逆；这是一个自同构因为Cn是交换群。

平面的刚体运动群(映射f : R2 → R2 使得x和y之间的欧氏距离等于f(x) 和f(y)之间的距离对于所有在R2中的x和y成立)同构于交换群R2 (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R2上，并且是一个自同构。

所有正交n×n矩阵的群O(n)(直观的讲，所有n维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO(n) (所有行列式值为1的正交矩阵，直观的讲n维空间的转动的集合)和C2的准直积。如果我们将C2表示为矩阵{I, R}的乘法群,其中R是n维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵),则φ : C2 → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = H N H−1对所有 在C2中的H 和SO(n)中的N给出。

与直积的关系
假设G是一个正规子群N和子群H的内半直积。若H也在G中正规，或者说，若存在一个同态G → N是N上的恒等映射，则G是N和H的直积。

两个群N和H的直积可以视为N和H相对于φ(h) = idN (对于所有H中的h)的外半直积。

注意在直积中，因子的次序不重要，因为N × H同构于H × N。这在半直积中不成立，因为两个因子的角色不同。

推广
半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本，环的交叉积（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的群环，这可以很自然的看出。还有李代数的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的轨道空间有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候，例如在阿兰·孔涅的工作中（细节请参见非交换几何）。

在范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。

参看

• 圈积(Wreath product)