兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。x(t) 的週期延伸可以寫成
:x_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t + kT).
兩個函數 x(t) 與 h(t) 的圓周摺積 (x \otimes h)(t) 可用兩種互相等價的方式來定義
:
\begin{align}
y(t) &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau
\quad = \quad (x_T * h)(t),
\end{align}
其中 * 表示原本的（線性）摺積。
類似地，對於離散信號（數列），可以定義週期 N 的圓周摺積 (x \otimes h)[n] 為
:
\begin{align}
(x_N * h)[n] &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \cdot x_N[n-m] \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left( h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n -m -kN] \right).\,
\end{align}
:
如果引入循环矩阵，那么两个长度都为 N 的离散信号（长度不一致，则可以通过补零来对齐两信号）的循环卷积则可以写成矩阵的形式。设有长度为 N 的离散信号 \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_0 & x_1 & \cdots & x_{N-1} \end{bmatrix}^{\rm T} ，则由该向量构建的循环矩阵有如下形式
\mathbf C_{ x} = \begin{bmatrix}
x_0 & x_{N-1} & \cdots & x_{1} \\
x_1 & x_0 & \cdots & x_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{N-1} & x_{N-2} & \cdots & x_{0}
\end{bmatrix}.
此时，信号\boldsymbol x \in \mathbb R^{N \times 1}与信号\boldsymbol y \in \mathbb R^{N \times 1}的圆周卷积可以写为
\boldsymbol x \otimes \boldsymbol y = \mathbf C_{\boldsymbol x} \boldsymbol y.
離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉變換（FFT）而有效率的計算。因此，若原本的（線性）摺積能轉換成圓周摺積來計算，會遠比直接計算更快速。考慮到長度 L 和長度 M 的有限長度離散信號，做摺積之後會成為長度 L+M-1 的信號，因此只要把兩離散信號補上適當數目的零（zero-padding）成為 N 點信號，其中 N\ge L+M-1\, ，則它們的圓周摺積就與摺積相等。即可接著用 N 點 FFT 作計算。
用以上方法計算摺積時，若兩個信號長度相差很多，則較短者須補上相當多的零，太不經濟。而且在某些情況下，例如較短的 h[n] 是一個 FIR 濾波器而較長的 x[n] 是未知長度的輸入（像語音）時，直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號，太不方便。這時可以把 x[n] 分割成許多適當長度的區塊（稱為 block convolution），然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連接起來，藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之摺積法和重疊-相加之摺積法。
相關條目
*摺積
*圓周摺積定理
*DFT與圓周摺積
參考文獻
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外部連結
[http://cnx.org/content/m10786/latest/ cnx]
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