偽球面

偽球面（，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑R的偽球面，是\mathbb{R}^3中每點高斯曲率均為\textstyle -1/R^2的平面。偽球面這個名稱是類比半徑R的球面（曲率\textstyle 1/R^2的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。
其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。

定义
对于xOz平面上的曳物线，其参数方程为(x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t.

当其绕z轴旋转一圈时，根据旋转曲面的一般参数方程，可得到曲面标准参数方程：

\left\{\begin{matrix}
x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\
y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ), \\
z=\mathrm{sech}(t).
\end{matrix}\right. 其中 0\leq \theta \leq 2\pi, 0\leq t.

该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。

性质
伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于双曲面。

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何。

早在1693年，克里斯蒂安·惠更斯就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是4\pi R^2，和同半径·球面相同。

參考資料