旋转曲面是一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生产的曲面，其中曲线C称之为该旋转曲面的母线，直线L称为该旋转曲面的旋转轴。
例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。
面积
如果曲线由参数方程x(t)、y(t)给出，其中a，且旋转轴是y轴，则旋转曲面A的面积由以下的积分给出：
: A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt,
条件是x(t)非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。
:\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2
来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。2\pi x(t)是这一小段的（重心的）路径。
如果曲线的方程是y=f(x)，a\leq x\leq b，则积分变为：
:A=2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx（绕着x轴旋转），
:A=2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy（绕着y轴旋转）。
这可以由以上的公式推出。
例如，单位半径的球面由曲线x(t)=\sin t，y(t)=\cos t旋转而得，其中0。所以，它的面积为：
:A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi.
对于半径为r的圆y(x) = \sqrt{r^2 - x^2}绕着x轴旋转所得的曲面，
:A = 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx
:= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx
:= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx
:= 4 \pi r^2\,
参见
- 旋转体
参考文献
*Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.
*Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980.
*Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997.
*Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999.
*Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.
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