古爾丁定理（），最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀又重新發現了這個定理。

表面積

• 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積A，等於曲線的長度s乘以曲線的幾何中心經過的距離d_1：A=s d_1。

例：設環面圓管半徑為r，圓管中心到環面中心距離為R，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為(2\pi r) (2\pi R) = 4 \pi^2 r R

若有平面連續曲線y=f(x)，求x在[a,b]時，曲線以x軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是y，曲線長度為\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}，因此這個曲面的表面積便是：
: 2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x 。

體積

• 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積V，等於平面形狀面積S乘以平面形狀的幾何中心經過的距離d_1的積：V=S d_1。

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積V = \pi \int_a^b y^2 \; \mathrm{d}x 。

注释
參考資料