有理数
在数学中，有理数（）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 \frac{a}{b}, b\neq 0。例如：0.375 可以表示为 \frac{3}{8}，因此 0.375 是有理数，当然 \frac{3}{8} 本身也是有理数。 按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 \sqrt{2}无法用整数比表示，因此 \sqrt{2} 是无理数。 並非所…
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0.999…
0.999…，也可写作0.\overline{9}、0.\dot{9}或是0.(9)，是一个具有特殊意义的无限循环小数，由小数点后无限的 9 序列组成。在数学的完备实数系中，「0.999…」所表示的数与「1」相同。换句话说，“0.999...”不是“几乎完全”或“非常、非常接近但不完全”等于1；相反，“0.999...”和“1”正好代表相同的数字。 有很多方法可以证明这种等式，从直觉的论证到严谨的数学证明。 所使用的技术取决于目标受众、…
規矩數
規矩數（又稱可造數）是指可用尺規作圖方式作出的實數。在給定單位長度的情形下，若可以用尺規作圖的方式作出長度為a的線段，則a就是規矩數。規矩數的「規」和「矩」分別表示圓規及無刻度直尺，兩個尺規作圖的重要元素。 和尺規作圖的關係 利用尺規作圖可以將二線段的長度進行四則運算，也可以求出一線段長度的平方根。因此符合以下任一條件的均為規矩數。 有理數（含整數）。 規矩數a的平方根\sqrt[]{a}（因此有其四次方根\sqrt[4]{a}、八次方…
實數的構造
在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於有理數域。 基本方法 一個實數系統由一個集合R，R當中的兩個不同元素 0 和 1 ，R上的兩種二元運算 + , \times （分別叫做加法與乘法），以…
分數
分數（）是用分式（分數式）表達成\frac{a}{b}的数（a, b \in Z, b\neq 0）。在上式之中，b稱為分母（denominator）而a稱為分子（numerator），可視為某件事物平均分成b份中佔a份，讀作「b分之a」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用a/b來表示分數。 用法 分數有各種不同的用法與意義： 兩個整數的比例：\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z},…
單位分數
单位分数（unit fraction）为一分数，是指分子为 1 的正分数，即“分子是 1 分母是正整数”的分数，记作 \frac{1}{n} 。它是该分数分母的乘法逆元（multiplicative inverse），亦即倒数（reciprocal），其分母必须为正整数。单位分数的例子如：1/1、1/2、1/3、1/4、1/5 等。 分数单位（fractional unit）为一单位，是指将单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的量；此…
模糊數
模糊數是实数的擴展，实数只有單一值，模糊數的值是由所有可能值組成的連通集合，而每一個可能值都有介於0到1之間的權重。此權重稱為隸屬函數。模糊數是实数裡，正規化凸集模糊集的特例。逻辑代数中只有絕對的真和假，沒有中間值，而模糊逻辑即為逻辑代数的擴展，模糊數也類似，是实数的擴展，可以將參數、性質、幾何、初始條件的不确定性考慮進來。模糊數的算術會使用模糊算術，有兩種不同的作法：以及extension principle作法。 模糊數等於模糊區間…
正數
正数（, ），在数学上是指大于0的实数，如1、3.7,1.5等，与负数相对。和实数一样，正數也是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體R+或ℝ+来表示。正数与0统称非负数。 正数的历史 在《九章算术》（约于公元前100年）首次出现了负数概念：方程章为了配合方程术的算法，给出正负数的加、减法则。此时， “正数”作为一个明确的数学概念诞生了，但其身份是与“负数”作为一对矛盾体共同确立的。 笛卡尔的坐标系（1637年）笛卡尔创立的解…
实数
在數學中，实数（）是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、\frac {81} {7}；后者如\sqrt{2}、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可…
斯托納姆數
斯托納姆數（）是一種特別的實數，得名自數學家李查·斯托納姆（Richard G. Stoneham, 1920–1996）。對於互質且大於1的整數b和c，可以定義斯托納姆數αb,c 如下： :\alpha_{b,c} = \sum_{n=c^k>1} \frac{1}{b^nn} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{b^{c^k}c^k} 斯托納姆在1973年證明只要c為奇質數，且b是c2的原根，則斯托納姆數是以b…
實數線
数学上，实数轴就是实数的集合 R。然而，这一术语通常在 R 被当作某种空间（诸如拓扑空间，向量空间）的时候使用。尽管至少早在古希腊时代，人们就开始研究实数线，但直到1872年，它才被严格地定义。而自始至终，它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。 定义 实数线具有一个标准拓扑，它可以通过两种等价的方法引入。 第一，实数满足全序关系，它们具有序拓扑。 第二，实数能够通过绝对值 d(x,y) := |y - x| 的度量转换到度量空间…