在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於有理數域。

基本方法
一個實數系統由一個集合R，R當中的兩個不同元素 0 和 1 ，R上的兩種二元運算 + , \times （分別叫做加法與乘法），以及R上的一個二元關係 \leq （即序關係）構成。
而且這個模型符合以下性質：

(R, +, \times) 是一個域。即

#* \forall x , y , z \in R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x \times ( y \times z ) = ( x \times y ) \times z （加法與乘法的結合性）
#* \forall x , y \in R , x + y = y + x , x \times y = y \times x （加法與乘法的交換性）
#* \forall x , y ,z \in R , x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z) （乘法對加法有分配律）
#* \forall x \in R , x + 0 = x（存在加法單位元）
#* \forall x \in R , x \times 1 = x（存在乘法單位元）
#* \forall x \in R , \exists -x \in R , x + (-x) = 0（存在加法逆元）
#* \forall x \in R , x \neq 0 \Rightarrow \exists x^{-1} \in R , x \times x^{-1} = 1（存在乘法逆元）

( R , \leq ) 是一個全序集。即

#* \forall x \in R , x \leq x (自反性)
#* \forall x , y \in R ,若 x \leq y 且 y \leq x ，則有x = y（反對稱性）
#* \forall x , y , z \in R,若 x \leq y 且, y \leq z ，則有x \leq z （傳遞性）
#* \forall x , y \in R , x \leq y 或 y \leq x （完全關係性）

R上的兩個運算+ , \times 均與序關係 \leq 相容。即

#* \forall x , y \in R ,若x \leq y , 則x + z \leq y + z（加法下保持次序）
#* \forall x , y \in R,若 0 \leq x 且 0 \leq y ，則 0 \leq x \times y（乘法下保持次序）

序關係 \leq 符合戴德金完備性: 若R的一個非空子集A有上界，那么A也有上確界。換言之，

#* 若 A 是 R的一個非空子集，而且A有上界，那麼A有一上確界u，使得對A的任何上界v，均有 u \leq v.

有理數域 \mathbf{Q}符合前三條公理，也就是說\mathbf{Q}是一個有序域（同時\mathbf{Q}還滿足阿基米德性，所以\mathbf{Q}是一個阿基米德有序域），但\mathbf{Q} 不符合最后一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。

附注：當我們說符合以上公理的兩個模型： (R, 0_R , 1_R , +_R , \times _R , \leq _R ) 和 (S , 0_S , 1_S , +_S , \times _S , \leq _S)是同構時，即是指存在一個保持運算和序的雙射。
確切地說存在f : R \rightarrow S滿足

• f是一個雙射
• f(0_R) = 0_S 及 f(1_R) = 1_S.
• \forall x,y \in R , f(x +_R y) = f(x) +_S f(y) 及 f(x \times _R y ) = f(x) \times _S f(y).
• \forall x , y \in R , x \leq _R y 當且僅當 f(x) \leq _S f(y).

塔斯基实数公理
另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作\mathbb R）、一个称之为序的二元关系（记作 ）、一个称之为加法的二元运算（记作+）和常数1。

序相关公理 (\mathbb R,：
*公理一：如果x成立，那么y不成立，即“ ”为非对称关系。
*公理二：如果x成立，那么存在y使得x与y同时成立，即“ ”在实数集稠密。
*公理三：“ ”满足戴德金完备性，即对所有X,Y\subset\mathbb R，如果对所有x\in X以及y\in Y均满足x，那么存在z使得对所有x\in X以及y\in Y并且有z\ne x以及z\ne y，总有x与z成立。

加法相关公理 (\mathbb R,：
*公理四：x+(y+z)=(x+z)+y。
*公理五：对所有x与y，总存在z满足x+z=y。
*公理六：如果x+y成立，那么x或y成立。

常数1相关公理 (\mathbb R,
*公理七：1\in\mathbb R；
*公理八：1。

模型的具體構造
柯西序列
首先我們需要一個定義。設(x_n)是一個有理數列，如果对于任何正有理數r > 0，存在一个正整数N使得对于所有的整数m , n > N ，都有|x_m - x_n|，則稱(x_n)為有理數的柯西序列。

有理數集\mathbf{Q}配備上度量|x-y|（即一般的绝对值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。

以下說明實數集\mathbf{R}可定義為\mathbf{Q}對於度量|x-y|的完備化。（關於\mathbf{Q}在其他度量下的完備化，參見p進數。）

記R為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為：
: (x_n) + (y_n) = (x_n + y_n)
: (x_n) \times (y_n) = (x_n \times y_n).
運算得到的序列依然會是柯西序列。

稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在R上定義了一個等價關係。以[(x_n)]表示包含序列(x_n)的等價類。

設\mathbf{R}為包含所有等價類的集合，然後也在\mathbf{R}上定義加法和乘法：
: [(x_n)] + [(y_n)] = [(x_n) + (y_n)]
: [(x_n)] \times [(y_n)]= [(x_n) \times (y_n)]
同樣地，這兩個運算是良好定義的。

可以證明(\mathbf{R},+,\times)是一個域。我們可以把\mathbf{Q}嵌入到\mathbf{R}——只要把有理數r對應於(r)便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的：
稱一個實數是正的，即[(x_n)] > [(0)]，當且僅當存在自然數N和正有理數r，使得對一切n > N 有 x_n > r 。稱[(x_n)] > [(y_n)],當且僅當 [(x_n)] - [(y_n)] > [(0)]。

較難推導的是\leq的完備性，具體可以參考

r 是非空集合

r \neq \textbf{Q}

r 是向下封閉的，即：\forall x, y \in \textbf{Q} x

r 沒有最大元。也就是說，不存在x \in r，使得對任何y \in r有y \leq x

• 記 \textbf{R} 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有 \textbf{Q} 上的戴德金分割。然后在 \textbf{R} 上定義這樣一個全序：x \leq y\Leftrightarrow x \subseteq y

• 有理數可以嵌入到 \textbf{R} 裡，透過把q 對應於集合\{ x \in \textbf{Q} : x 。

首先，對於任何自乘小於2的正有理數 x\,，都存在一個大於x的有理數y\, ，而且有y \times y 。選擇y=\frac{2x+2}{x+2}\, 便可。所以我們證明了A 是一個實數。
要證明A \times A \le 2成立，只需指出如果r\,是小於2的有理數，那麼存在正的 x\in A ，且 r。

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

小數記法
西蒙·斯蒂文 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明“完全有序域的所有模型都同構”的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

超實數
首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由Q裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環B。 B 有著唯一的極大理想 I，即無窮小量。商環 B/I 給出了實數域 R。 注意B 並不是*Q的一個內在集合。
此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

超現實數
每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。

通過整數集（歐多克索斯實數）
一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。 這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。 Shenitzer和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。

設f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}為一函數，若然\{f(n+m)-f(m)-f(n): n,m\in\mathbb{Z}\}是有限集，則稱f為殆同態。稱兩個殆同態f,g 是 幾乎相等的，如果集合\{f(n)-g(n): n\in \mathbb{Z}\}是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為[f]。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱0\leq [f]，若f 是有界的，或者f 在\mathbb{Z}^+上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。

參見

• 數學結構主義#實分析中的例子

參考資料