有理数

在数学中，有理数（）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 \frac{a}{b}, b\neq 0。例如：0.375 可以表示为 \frac{3}{8}，因此 0.375 是有理数，当然 \frac{3}{8} 本身也是有理数。

按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 \sqrt{2}无法用整数比表示，因此 \sqrt{2} 是无理数。

並非所有以分數表示的數字皆為有理數，例如 \frac{\sqrt{2}}{2} 並不是有理數，其不符合可表示为整数比的定义。

所有有理数構成的集合常寫作 \mathbf{Q} 或 \mathbb{Q}，其定义為：

:\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

有理数寫作小数時，其小数部分为有限或为循环。

词源
有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。

运算
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：
:\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

两个有理数 \frac{a}{b} 和 \frac{c}{d} 相等的充要條件為 ad = bc。

有理数中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：
:- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0时，\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}
两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

古埃及分数
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：
:\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上\left(a, b\right)的等价类，这里b, d不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：
: \left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)
: \left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)

为了使\frac{2}{4} = \frac{1}{2}，定义等价关系\sim如下：
: \left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将\mathbf{Q}定义为整数有序对关于等价关系~的商集：\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim 。例如：两个对(a,b)和(c,d)是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定義大小
\mathbf{Q}上的大小可以定义为：
: \left(a, b\right) \le \left(c, d\right)当且仅当下列任一條件成立：
:# bd > 0 并且ad \le bc
:# bd 并且ad \ge bc

然後x 是指x \le y但y \nleq x。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：a当且仅当b>a。此排序中，每一对有理数a,b之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：
:a=b，a>b，a。
又滿足传递性：若a，且b，则a。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足：若a，则必存在有理数c，满足a，且c。

性质
集合\mathbb{Q}，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数\mathbb{Z}的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含\mathbb{Q}的一个拷贝（即存在一个从\mathbb{Q}到其中的同构映射）。

\mathbb{Q}的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說\mathbb{Q}的基數（或勢）與自然數集合\mathbb{N}相同，都是阿列夫數\aleph_0，這是因為可以定義一個從有理數集\mathbb{Q}映至自然數集合的笛卡爾積\mathbb{N} \times \mathbb{N}的單射函數，而\mathbb{N} \times \mathbb{N}是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（）。說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

实数
有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量d\left(x, y\right) = |x - y|，有理数构成一个度量空间，这是\mathbb{Q}上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是\mathbb{Q}的完备集。

\mathit{p}进数
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将\mathbb{Q}转化到拓扑域：

设p是素数，对任何非零整数a设|a|_p = p^{-n}，这里p^{n}是整除a的p的最高次幂；

另外|0|_p = 0。对任何有理数\frac{a}{b}，设\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}。

则d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p在\mathbb{Q}上定义了一个度量。

度量空间\left(\mathbb{Q}, d_p\right)不完备，它的完备集是p进数域\mathbb{Q}_p。

参见

• 浮点数
• 尼云定理

参考文献