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無理數

Wikipedia · 2026-08-01 维基百科 👁 1 阅读

無理數（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明\sqrt{2}無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。

举例
#\sqrt{3}=1.73205080…
#\log_{10}3=＝0.47712125…
#e=2.71828182845904523536…
#\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}=0.70710678…
#\pi=3.141592653589793238462…

性质

  • 无理数加或减有理数必得无理数。
  • 无理数乘以或除以不等于0的有理数必得无理数。
  • 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。但无理数的无理数次幂不一定是无理数，如{(\sqrt{2}^\sqrt{2})}^\sqrt{2} = 2是有理数。

不知是否是無理數的數
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數。如\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10}10 = 1，\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1都是无理数与无理数进行四则运算得到有理数的例子。只有一些特定形式的数，如\sqrt{2}+\sqrt{3}，可以证明是无理数。而\pi + e、\pi - e等数未知是否是无理数，事实上，對于任何非零整數m \,及n \,，不知道 m \pi+ne \,是否無理數。

目前也不知道2^e \,、\pi^e \,、\pi^\sqrt{2}、欧拉－马歇罗尼常数\gamma \,、卡塔兰常数G和费根鲍姆常数是否是無理數。

無理數集的特性
無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式
:x^2=c\qquad(c>0)，
選取正實數\rho\,使
:\rho^2。
經由遞迴處理
:\begin{align}
x^2\ -\!\rho^2&=c\ -\!\rho^2\\
(x\ -\!\rho)(x\ +\!\rho)&=c\ -\!\rho^2\\
x\ -\!\rho&=\frac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!x}\\
x&=\rho\ +\!\frac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!x}\\
&=\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!\left(\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!x}\right)}\\
&=\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{2\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{2\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{\ddots\,}}}=\sqrt{c}\,
\end{align}

無理數之證
證明某數是無理數，可以採用反證法，首先假設該數是有理數，可以用最簡分數\frac{p}{q}表示，進而推導出矛盾，證明假設不成立。
證明\sqrt{2}是无理数
假设\sqrt{2}是有理数，且\sqrt{2}=\frac{p}{q}，\frac{p}{q}是最简分数。

两边平方，得2=\frac{p^2}{q^2}。将此式改写为2q^2=p^2，可见p^2为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以p只能为偶数。设p=2p_1，其中p_1为整数。

代入可得q^2=2p_1^2。同理可得q亦为偶数。

这与\frac{p}{q}为最简分数的假设矛盾，所以\sqrt{2}是有理数的假设不成立。

此结论可进一步推广，当N为正整数但不是完全平方数时，\sqrt{N}是无理数。一般地，根据有理数根定理，对于方程a_nx_n^n+a_{n-1}x_{n-1}^{n-1}+a_{n-2}x_{n-2}^{n-2}+\dots+a_1x+a_0=0，a_0, a_1, a_2, \dots, a_n是整数，a_0,a_n \neq 0，方程的有理数解x=\frac{p}{q}必须满足p是常数项a_0的整数因子以及q是首项a_n的整数因子，而其他的解是无理数。

证明\log_2 3是无理数
假设\log_2 3是有理数，且\log_2 3=\frac{p}{q}，那么有

: 2^{p/q}=3

: (2^{p/q})^q = 3^q

: 2^p=3^q.

因为2^p是偶数，3^q是奇数，所以得到矛盾，因此\log_2 3是无理数。

定義
所有無理數成的集合其定义为：

\R-\Q

参见

  • 分划
  • 丢番图逼近
  • 3的算术平方根
  • 5的算术平方根
  • 超越数
  • 第一次數學危機
  • 正規數

外部連結

#無理數

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