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分數

Wikipedia · 2026-04-18 维基百科 👁 1 阅读

分數（）是用分式（分數式）表達成\frac{a}{b}的数（a, b \in Z, b\neq 0）。在上式之中，b稱為分母（denominator）而a稱為分子（numerator），可視為某件事物平均分成b份中佔a份，讀作「b分之a」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用a/b來表示分數。

用法
分數有各種不同的用法與意義：

  • 兩個整數的比例：\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z}, a, b \neq 0)，這是兩個數量的比較關係。
  • 有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
  • 整數除法：\frac{a}{b} \equiv a \div b \ (a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
  • 等分：\frac{1}{3}表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。\frac{1}{3}也就是3這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

分類
; 最簡分數（既约分数）（irreducible fraction）:分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：\frac{4}{~{}15~{}}
; 真分數（proper fraction）:除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：\frac{3}{~{}7~{}}
; 假分數（top-heavy/improper fraction）:假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：\frac{5}{~{}3~{}}和\frac{8}{~{}8~{}}
; 帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number）:一個整數（whole number）加一個真分數，例如a \frac{b}{c}，讀作「a又c分之b」；又例如1 \frac{1}{~{}2~{}}，就是一又二分之一。可寫成假分數，與\frac{~{}( a \times c ) + b~{}}{c}等價。
; 十進位分數（decimal fraction）: 分母為10的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如，\frac{1}{100}一般记为0.01，也可以百分率簡記為1\%，或是以10的冪記為10^{-2}。
; 單位分數:分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：\frac{1}{~{}99~{}}
; 古埃及分數（Egyptian fraction）:將分數表達成單位分數之和。例如：\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}
; 繁分數:分子和/或分母包含了分數的分數，例如\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于\frac{ad}{~{}bc~{}}。
; 連分數:外觀如x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}} 的分數，其中a_i是整數。若只有有限個a_i非零，則連分數是一個分數。

分數運算
分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分
一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

约分
約分（reduction of a fraction）是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。汉语“约”则是简化估量的意思。

約分後的分數和原來分數的值相等。 \frac{3}{6}=\frac {1}{2}

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分
擴分（expansion of a fraction）是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。 \frac {1}{2}=\frac{2}{4}

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分
通分（reduction of fractions to a common denominator）是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

加法及減法
筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：
*\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
*\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}

乘法及除法
分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：
:\quad \frac{1}{5} \div \frac{7}{11} = ( \frac{1}{5} \times 11 ) \div ( \frac{7}{11} \times 11 ) = ( \frac{1}{5} \times 11) \div 7 = ( \frac{1}{5} \times 11 \times \frac{1}{7}) \div ( 7 \times \frac{1}{7} )
:= \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} = \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}

相關話題

  • 有理數
  • 倒數
  • 除以零
  • 法里數列
  • 連分數
  • 分母有理化
  • 偶然對消

参考文献
外部連結
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#實數 #分数 #除法

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