复合函数（），又稱作合成函數，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 f: X\rightarrow Y 和 g:Y\rightarrow Z 可以复合，得到从 X 中的 x 映射到 Z 中 g(f(x)) 的函数。直观来说，如果 z 是 y 的函数，y 是 x 的函数，那么 z 是 x 的函数，得到的复合函数记作 g \circ f:X\rightarrow Z，定义为对 X 中的所有 x，(g \circ f)(x)=g(f(x))。直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。
函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。复合函数还有一些其他性质。
定義
考慮到函數的值域跟定义域，要簡單的以“計算式”，如把所有 (x,\,x+1) 和 (y,\,\sqrt{y}) 的有序对頭接尾的這樣直觀定義“合成”是會遇到問題的，像是把 x 取為实数，這樣把 x+1 很自然的對接到 y 然後開根號成 \sqrt{y} ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的“合成函數”的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備“合成”的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。
设我們有兩個函數 f 和 g ，兩者的定義域分別是 D_f 和 D_g，值域分別是 I_f 和 I_g。如果 I_f\cap D_g \neq \varnothing ，那我們定義合成函數為
: g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\, (\exists y\in I_f\cap D_g)[y=f(x) \wedge z=g(y)] \}
直觀上來說，如果 f 的“輸出範圍”是有一部分在 g 的“輸入範圍”，那我們就可以定義“先作用 f 再作用 g ”的函數，但這個“新合成”的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 x 而已）。注意到每個 x 只會有一個輸出值 y ，而每個 y 只會有一個輸出值 z ，所以這樣“先作用 f 再作用 g ”的話，每個 x 只會有一個輸出值 z 而已，這確保了 g\circ f 符合我們對函數的要求。函数与三次函數，两个实函数以不同的次序复合。这表明了函数复合不遵守交换律]]
当 g\circ f = f\circ g 时（注意這是集合的相等！），我们会说 g 和 f 是可交换的。
兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。
涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。给出了复合函数的高阶导数的表达式。
例子
- 有限集上的函数复合：若 f=\{(1,3),(2,1),(3,4),(4,6)\}，g=\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,1),(5,3),(6,2)\}，则 g \circ f=\{(1,4),(2,5),(3,1),(4,2)\}.
- 无限集上的函数复合：若 f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} （其中 \mathbb{R} 是所有实数的集合）表达式为 f(x)=2x+4，而 g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 表达式为 g(x)=x^3，则：
:(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^3)=2x^3+4，且
:(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+4)=(2x+4)^3.
- 如果一架飞机在 t 时刻的海拔为 h(t)，而海拔 x 处的氧气浓度为 c(x)，那么 (c \circ h)(t) 描述了 t 时刻飞机周围的氧气浓度。
复合幺半群
假设我们有两个（或多个）函数 f:X\rightarrow X， g:X\rightarrow X，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 f \circ f \circ g \circ f。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是。所有函数 f:X\rightarrow X 的集合称作 X 上的全变换半群或对称半群。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。）
是位似 H 和以 S 为中心的旋转 R 的复合。例如，A 在旋转 R 下的像是 U，可以写作R(A)=U。而 H(U)=B 表示映射 H 把 U 变换到了 B。因此，H(R(A))=(H \circ R)(A)=B。]]
如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凱萊定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。
所有双射函数 f:X\rightarrow X（称作置-{}-換）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。
在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。
函数幂
如果 Y \subseteq X，则 f:X \rightarrow Y 有可能可以与自身复合；这有时候记作 f^2。即：
:(f \circ f)(x)=f(f(x))=f^2(x)
:(f \circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^3(x)
:(f \circ f\circ f \circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^4(x)
更一般地，对于 n \geq 2 的自然数，n 次函数冪可以归纳定义为 f^n=f \circ f^{n-1}=f^{n-1} \circ f。 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。
- 习惯上，f^0 定义为 f 定义域上的恒同映射，id_X.
- 如果 Y=X，而 f:X\rightarrow X 存在反函數 f^{-1}，那么对于 n>0，负函数幂 f^{-n} 定义为反函数的幂：f^{-n}=(f^{-1})^n。
注意：若 f 在一个环内取值（特别是对于实值或复值 f），存在混淆的风险，因为 f^n 也可以表示 f 的 n 次乘积，比如 f^2(x)=f(x) \cdot f(x)。 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 \sin^2(x)=\sin(x)\cdot \sin(x) 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，\tan^{-1}=\arctan\neq \frac{1}{\tan}.
在一些情况下，对于给定函数 f，方程 g \circ g=f 只有一个解 g 的时候，该函数可以定义为 f 的函数平方根，记作 g=f^{\frac{1}{2}}.
更一般地，当 g^n=f 只有唯一解时（自然数 n>0），f^{\frac{m}{n}}可以定义为 g^m.
在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。
为避免混淆，有些数学家把 f 的 n 次迭代写作 f^{\circ n}.
其他记法
许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 g \circ f 写作 gf.
在20世纪中叶，一些数学家认为用“g \circ f”来表示“首先施加 f，然后施加 g”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“xf”来代表“f(x)”，用“(xf)g”来代表“g(f(x))”。这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 x 为行向量，f 和 g 表示矩阵，而复合是通过矩陣乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。
使用后缀表示法的数学家可能会写“fg”，表示先施加 f 再施加 g，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“fg”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 f;g 来表示 [1] ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用[粗]分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。
复合算子
给定函数 g，复合算子 C_g 定义为使得
::C_g f = f \circ g.
的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。
多元函数
对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 f 的部分参数 x_i 由 g 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 f|_{x_i=g}
:f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).
当 g 是一个常数 b 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。
:f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).
通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 f，一个 n 元函数，n 个 m 元函数 g_1,\cdots,g_n，f 与 g_1,\cdots,g_n 的复合是 m 元函数
:h(x_1,\ldots,x_m) = f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,g_n(x_1,\ldots,x_m)).
这有时称作 f 与 g_1,\cdots,g_n 的广义复合。在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，g_1,\cdots,g_n 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。
某些基本集 X 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。
:f(g(a_{11},\ldots,a_{1m}),\ldots,g(a_{n1},\ldots,a_{nm})) = g(f(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,f(a_{1m},\ldots,a_{nm})).
一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为。
具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 (f \circ g)^{-1}=(g^{-1} \circ f^{-1}) 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了。
排版
复合算子 编码为。参见度數符號条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作\circ。
参见
- 组合子逻辑
*
- 迭代函数
*
- 流
- 高阶函数
- ，函数复合的图形方法
- Λ演算
*
- ，复合运算的形式公理化
- 随机变量函数
注释
参考文献
外部链接
*
- "[http://demonstrations.wolfram.com/CompositionOfFunctions/ Composition of Functions] " by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
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