映射

映射（，mapping）或称射影、写像，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。映射這個概念可能源于绘制地图的过程：例如将地球表面畫（映射）在一张纸上。

符号
\rightarrow：是收敛箭号、射向符号、映射符号，俗称“右向箭号”，用于定义函数架构，连接定义域至陪域；作用对象是集合与集合之间，不涉及具体的数字计算。读作“(从)...到...”（(from) ... to ...），数学语义是“映射”。

\mapsto：是映射值箭号、元素映射号，俗称“带杠箭号”，强调有一起线，用于定义元素关系，指明自变量到因变量；作用对象是元素与元素之间，涉及运算结果或表达式。读作“...映射到...”（... maps to ...），数学语义是“赋值”。

注：无起线象征流动的，表示一个过程或一个趋势；有起线象征确定的，指定“输入这一个特定的点，产出那一个特定的值”。

定义
在形式逻辑中
这个术语有时用来表示函数谓词（Functional predicate），在那里函数是集合论中谓词的模型。

在集合论中
设A,B是两个非空集合，若对A中的任一元素x，依照某种规律或法则f，恒有B中唯一确定的元素y与之对应，则称此对应规律或法则f为一个从A到B的映射。

记作 f:A\rightarrow B 或 f:x\mapsto y

並且，称集合A为映射f的定义域，集合B为映射f的到达域；称y为x的像，x为y的原像。

记作 y=f(x)

此外，称集合R_{f}为映射f的值域，

记作 R_{f}=\left\{f(x)|x\in A\right\} 或 R_{f}=f(A)

R_{f} 称为A在f作用下的像。

参见
*同态
*态射
*单射
*满射
*单射、双射与满射

參考資料