反函數

到3，因此反函数ƒ–1把3映射回到a。]]
在數學裡，反函數，也稱為逆函數（），是對一個給定函數做逆運算的函數。如果一個函數 f 將 x 映射到 y，那麼它的反函數 f^{-1} 將 y 映射回 x，即 f^{-1}(f(x)) = x 且 f(f^{-1}(y)) = y。

例如，對於實函數 f(x) = 5x - 7，可以將它理解為先乘以5再減去7。要撤銷這一步，可以反過來先加上7再除以5，因此反函數為 f^{-1}(y) = \frac{y+7}{5}。

若f為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射与双射。

与限制的关系
一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如
:f: \mathbb{R} \to [0,\infty),\, f(x)=x^2
f并不是单射，因f(1)和f(-1)均为1。但若取其到[0,\infty)上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数
:{f _{|_{[0, - \infty)}}}^{- 1} (x) = \sqrt{x}.

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如
: \sin(x + 2\pi) = \sin(x),
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值。

性質
*原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
*原函数与其反函数的函数图像关于函数y=x的图像对称。
*严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
*拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如y=x^{-3}

反函数与微分
由反函數定理，對單變量實函數 f，若 f 在區間上連續且嚴格單調，則 f 在其值域上可逆。進一步地，若 f 在點 x 處可微且 f'(x) \neq 0，則反函數 f^{-1} 在 y = f(x) 處可微，且

:\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)}.

用表示即 \frac{dx}{dy} = 1 \big/ \frac{dy}{dx}。這一直觀結論可從鏈式法則推出。

對多變量函數 f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n，反函數定理指出：若 f 連續可微且在點 p 處的雅可比矩陣可逆，則 f 在 p 的某個鄰域上可逆，且反函數的雅可比矩陣等於原函數雅可比矩陣的逆矩陣。

左右逆
在集合論中，可以定義更廣泛的左右逆概念。設 f: X \to Y：

• 若存在 g: Y \to X 使得 g \circ f = \operatorname{id}_X，則稱 g 為 f 的左逆。左逆存在的充要條件是 f 為單射。
• 若存在 h: Y \to X 使得 f \circ h = \operatorname{id}_Y，則稱 h 為 f 的右逆。右逆存在的充要條件是 f 為滿射（需依賴選擇公理）。
• 若一個函數同時擁有左逆和右逆，則兩者必定相等，稱之為雙側逆，即通常意義下的反函數。雙側逆存在的充要條件是 f 為雙射。

此外，對任意函數 f（不必可逆），可以定義元素 y \in Y 的原像（preimage）為集合 f^{-1}(y) = \{ x \in X \mid f(x) = y \}，即所有映射到 y 的 x 的集合。原像的概念可以推廣到 Y 的子集。

实例
以下是一些反函數在日常生活中的應用：

• 溫度換算：攝氏度 C 轉華氏度 F 的函數為 F = \frac{9}{5}C + 32，其反函數 C = \frac{5}{9}(F - 32) 用於將華氏度換算回攝氏度。
• 酸鹼度：pH 定義為 \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]，其反函數 [\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}} 用於從 pH 值計算氫離子濃度。
• 對數與指數：指數函數 y = a^x 的反函數是對數函數 x = \log_a y，兩者互為逆運算。

注释
参考资料
另見

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理