并集

在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。

有限聯集
聯集是由公理化集合论的并集公理（配上配对公理）來確保其唯一存在的特定集合 A \cup B ：
:(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{
(x \in A \cup B)
\Leftrightarrow
\left[
(x \in A)
\vee
(x \in B)
\right]
\right\}

也就是直觀上：
:「對所有 x ， x \in A \cup B 等價於 x \in A 或 x \in B」

举例：

集合\{1, 2, 3\}和\{2, 3, 4\} 的并集是\{1, 2, 3, 4\}。数9不属于素数集合\{2, 3, 5, 7, 11,\ldots\}和偶数集合\{2, 4, 6, 8, 10,\ldots\}的并集，因为9既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：
例如，A,B和C的并集含有所有A的元素，以及所有B的元素和所有C的元素，而没有其他元素。形式上：
:x是A \cup B \cup C的元素，当且仅当x属于A或x属于B或x属于C。

代数性质
二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即
:A \cup (B \cup C) =(A \cup B)\cup C。事实上，A \cup B \cup C也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即\varnothing \cup A = A，对任意集合A。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足第摩根定律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集
由公理化集合论的并集公理，有唯一的集合 \bigcup\mathcal{M} 滿足：

: (\forall \mathcal{M})(\forall x)\left\{
\left(x \in \bigcup\mathcal{M}\right)
\Leftrightarrow
(\exists A)\left[
\left(A \in \mathcal{M}\right)
\wedge
(x \in A)
\right]
\right\}

也就是直觀上「對所有 \mathcal{M} 和所有 x ， x \in \bigcup\mathcal{M} 等價於有某個 \mathcal{M} 的下屬集合 A ，使得x \in A」。以上的 \mathcal{M} 可以直觀的視為一個集合族，而把 \bigcup\mathcal{M} 看成對 \mathcal{M} 內的集合取并集，例如：

取 \mathcal{M} = \{A,B,C\} 則 \bigcup\mathcal{M} = A \cup B \cup C 。

但這個公理並沒有對 \mathcal{M} 下屬集合的數量做出任何限制，所以這個 \bigcup\mathcal{M} 被俗稱為任意并集或无限并集。

若 X \subseteq \bigcup\mathcal{M} ，會稱 X 被 \mathcal{M} 覆蓋（cover），也就是直觀上可以用 \mathcal{M} 裡的所有集合疊起來蓋住 X。

无限并集有多种表示方法：

可模仿求和符号記為
: \bigcup_{A\in \mathcal{M}} A。
但大多數人會假設指标集 I 的存在，換句話說
: 若 I \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} 則 \bigcup_{i\in I} A(i) := \bigcup \mathcal{M}
在指标集 I 是自然数系 \N 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：
: 若 \N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} 則 \bigcup^{\infty}_{i = 0} A(i) := \bigcup \mathcal{M}
也可以更粗略直觀的將 \bigcup^{\infty}_{i = 0} A(i) 写作A_{0} \cup A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots。

无限并集的性質
比較性質
{{Math theorem
| name = 定理(1)
| math_statement =

(\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N})
\vdash
\left(\bigcup\mathcal{M} \subseteq \bigcup\mathcal{N}\right)
}}

覆蓋性質
{{Math theorem
| name = 定理(2)
| math_statement =

\vdash
A = \bigcup\mathcal{P}(A)

}}

「A 正好就是其冪集的聯集」，這個定理直觀上可理解成，因為冪集 \mathcal{P}(A) 是以 A 和 A 的子集為元素，所以 \mathcal{P}(A) 的聯集理當是 A 。

{{Math theorem
| name = 定理(3)
| math_statement =

\left(\bigcup\mathcal{M} \subseteq A \right)
\vdash
(\forall M \in \mathcal{M})(M \subseteq A)
}}

直觀上，這個定理說「一群集合的聯集包含於 A ，則它們個個都包含於 A 」

{{Math theorem
| name = 定理(4)
| math_statement =

\vdash
\left(A = \bigcup\mathcal{M}\right)
\Rightarrow
\left\{A \subseteq \bigcup\mathcal[\mathcal{M} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}

}}

直觀上，這個定理說「集族 \mathcal{M} 的聯集為 A ，則對 A 的每點 a ，都可從 \mathcal{M} 裡找到一個 a 的鄰域 M ，且這個鄰域不會比 A 大 」

運算性質
{{Math theorem
| name = 定理(5)
| math_statement =

若
:\mathcal{M}_A := \left\{
B \,|\,
(\exists M \in \mathcal{M})(B = M \cap A)
\right\}
則
:\vdash
\bigcup\mathcal{M}_A = A \cap \left(\bigcup\mathcal{M}\right)
}}

直觀上這個定理說，交集在「无限并集满足分配律」，一般會不正式的寫為
: \bigcup_{i\in I}\left(A \cap B_{i}\right) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}
{{Math theorem
| name = 定理(6)
| math_statement =

\N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{A} ，若對自然数 m \in \N 做以下的符號定義：
: \mathcal{A}_m
:=
\left\{
S \in \mathcal{A} \,|\,
A^{-1}(S) \geq m
\right\}
: \mathcal{I}
:=
\left\{
S \,\bigg|\,
(\exists m \in \N)\left(
S = \bigcap \mathcal{A}_m
\right)
\right\}
: \mathcal{S}
:=
\left\{
S \,\bigg|\,
(\exists m \in \N)\left(
S = \bigcup \mathcal{A}_m
\right)
\right\}
那有
: \vdash
\bigcup \mathcal{I} \subseteq \bigcap \mathcal{S}。
}}

這個定理一般會被不正式的寫為
: \bigcup^{\infty}_{i=0}\left(\bigcap^{\infty}_{j=i} A_j \right)
\subseteq
\bigcap^{\infty}_{i=0}\left(\bigcup^{\infty}_{j=i} A_j \right)。
参考

• 朴素集合论
• 交集
• 补集
• 对称差
• 不交并
• 布尔逻辑

参考文献