有界集合
在数学分析和有关的数学领域中，如果一个集合在某種意义上有有限大小，则称为有界。反过来说，不是有界的集合就叫做无界。 定义 如果存在一个实数 k，使得对于所有 S 中的 s 有 k\geq s，实数集合 S 被稱為“上有界”的，这个数 k 被称为 S 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。 如果集合 S 有上界和下界二者，則它是有界的。所以，如果一個实数集合包含在有限区间内，則它是有界的。 度量空间 度量空间 (M, d) 的子集 …
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升链条件
在数学中，升链条件（Ascending Chain Condition）和降链条件（Descending Chain Condition）是一些代数结构具有的性质，例如交换环中的理想。 定义 偏序集P满足升链条件，如果在P中不存在严格升序列 :a_1 其中的a_i都是P中的元素。等价地，P中任意不严格升序列 :a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots 最终都是稳定的，即存在一个正整数n使得 :a_n = a_{…
反链
在序理論中，设A是一个偏序集，B为A的一个子集，若B中任意两个元素无法相互比較（comparable），则称B是一条反链（Antichain）。为了方便，通常还规定偏序集中的所有单元素子集既是链也是反链。 用形式化语言表述就是： 设( A,\geqslant)是一个偏序集，B是A的子集，则B是A上的反链等价于 :\forall x \forall y \left( (x \in B \wedge y \in B) \rightarrow…
理想 (序理论)
在数学分支序理论中，理想是偏序集合的一個特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。 基本定义 序理论中理想的最一般的定义如下： 偏序集合(P,≤)的非空子集I称为一个理想，若I满足： I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。 I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使x ≤ z，y ≤ z。 理想最初只在…
特殊化预序
在数学分支拓扑学中，特殊化（或规范）预序是在拓扑空间上的自然预序。对在实践中考虑的大多数空间，特别是满足T0 分离公理的那些空间，这个预序甚至是偏序（叫做特殊化序）。在另一方面，对于T1空间这个次序成为平凡的而没有价值。 特殊化序经常在计算机科学应用中考虑，这里的T0空间出现在指称语义中。特殊化序对于识别在偏序集合上合适的拓扑空间是重要的，这在序理论所要做的。 定义和动机 考虑任何拓扑空间X。在X上的特殊化预序≤定义自设置 :x ≤ y…
交运算
在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。 通常把 x 和 y 的交指示为 x \land y。 偏序定义 设 A 是带有偏序 \leq 的一个集合，并设 x 和 y 是 A…
闭包算子
在数学中，给定偏序集合 (P, ≤)，在 P 上的闭包算子是函数 C : P → P 带有如下性质: *x ≤ C(x) 对于所有 x，就是说 C 是扩展性的。 如果 x ≤ y，则 C(x) ≤ C(y)，就是 C 是单调递增的。 C(C(x)) = C(x) 对于所有的 x，就是说 C 是幂等函数。 例子 名字来自形成拓扑空间的子集的闭包有这些性质，如果所有子集的集合按包含 ⊆ 来排序。(注意拓扑闭包算子不由这些性质来刻画；完全特征…
上闭集合
在数学中，上部集合（向上闭合集合）是给定偏序集合 (X,≤) 的子集 Y，使得对于所有元素 x 和 y，如果 x 小于等于 y，并且 x 是 Y 的一个元素，则 y 也在 Y 中。更加形式的说 : \forall x\forall y\left[x \le y \land x \in Y \Rightarrow \; y \in Y\right] 对偶概念是下部集合(向下闭合集合)，它是给定偏序集合 (X,≤) 的任何子集 Y，使得对于…
序嵌入
在序理论中，序嵌入是特殊种类的单调函数，它提供了一种方式来包括一个偏序集合到另一个中。类似伽罗瓦连接，序嵌入构造了一个严格弱于序同构的概念。 形式定义 形式上说，给定两个偏序集合 (S, ≤) 和 (T,
原子 (序理论)
带有最小元 0 的偏序集合 P 中的原子是不等于 0 的所有元素中的极小的元素。 带有最小元 0 的原子偏序集合 P 中的是在其中对于所有 P 的非零元素 x 有一个 P 的原子 a 使得 a ≤ x。 在偏序集合中的原子是集合论中的单元素集合的抽象推广。