升链条件

在数学中，升链条件（Ascending Chain Condition）和降链条件（Descending Chain Condition）是一些代数结构具有的性质，例如交换环中的理想。
定义
偏序集P满足升链条件，如果在P中不存在严格升序列
:a_1
其中的a_i都是P中的元素。等价地，P中任意不严格升序列
:a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots
最终都是稳定的，即存在一个正整数n使得
:a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots.
类似地，P满足降链条件如果在P中不存在严格降序列或者每个不严格降序列最终都是稳定的。
性质

• 利用选择公理，偏序集P满足降链条件等价于P满足良基关系：P的每个非空子集都有一个极小元。满足良基关系的偏序集称为良序集。
• 类似地，偏序集P满足升链条件等价于P的每个非空子集都有一个极大元。

例子
正整数环\mathbb{Z}中的理想满足升链条件，其中理想是通过包含关系进行排序，于是\mathbb{Z}是一个诺特环。