集合族
集族（）在通常語境下指代一種特定的集合，若稱一個集合為一個集族，則代表其中所有元素也都是集合。 在集合論中，由於所有物件皆被視作集合，故嚴格意義上所有集合皆為集族，即使是沒有任何元素的空集合也算集族。 定義 由於嚴格意義上，“集族”與“集合”兩詞在語意相同，故後文只討論“通常語境下”的集族。以下是一些與“族”相關的字詞： 集族：給定一個集合S，我們稱其為一個集族，若且唯若其所有元素s都是集合。 子集族（）：給定一個集合S，我們稱集合F為…
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共 15 篇文章
紹爾-謝拉赫引理
组合数学和中，紹爾-謝拉赫引理（）斷言，若集合族的VC维低，則該族不能有太多個集合。引理得名於諾貝特·紹爾和，兩人分別獨立於1972年發表此結果。較之略早，在1971年，弗拉基米尔·瓦普尼克和亞歷克塞·澤范蘭傑斯合著的論文已有此結果（「VC維」即以兩人為名）。謝拉赫發表引理時，亦歸功於，故引理又稱為佩爾萊斯-紹爾-謝拉赫引理。 布萨格洛等人稱其為「關於VC維的最根本結論之一」和图论。 定義及敍述 設 \textstyle \mathca…
集合覆盖问题
集合覆盖问题（Set covering problem，SCP）是组合数学、计算机科学和计算复杂性理论中的一个经典问题。 集合覆盖的决定性问题是卡普的二十一个NP-完全问题之一。 定义 给定全集\mathcal{U}，以及一个包含n个集合且这n个集合的并集为全集的集合\mathcal{S}。集合覆盖问题要找到\mathcal{S}的一个最小的子集，使得他们的并集等于全集。 例如\mathcal{U} = \{1, 2, 3, 4, 5\…
Σ环
σ环 （），是指在可列并运算和相对补集运算下封闭的非空集合。 定义 设 \mathcal{R} 是非空集合。若 \mathcal{R} 满足下列性质，则称其为σ环： 对可列并运算封闭： \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}，若对一切 n \in \N 满足A_{n} \in \mathcal{R} 对相对补集运算封闭： A \setminus B \in \mathcal{R}，若 A…
指标集
在数学中，若集合 A 的元素可凭借另個集合 J 来索引（index）或标定（label），這時便稱集合 J 為指標集（或索引集）。 正式定義 對於二集合 J 與 A 若 J \cong A （二者等势），則集合 J 稱為 A 的指標集；更進一步的，若 J \,\overset{f}{\cong}\, A ，f 稱為從 J 到 A 的指標函數。 例子 集合 S 的一个枚举给出一个索引集合J \sub \mathbb{N}，这裡的f:J \…
Σ-代数
在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（）又叫 σ-域（），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。 σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利…
集合域
在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对\,(\Omega,\mathcal{F})\,，其中 \Omega 是集合，\,\mathcal{F}\, 是由集合 \Omega 的一些子集构成的一种集类，它满足 \Omega 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。 也可把满足…
全集
数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则稱作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。 在特定场合下 这个一般概念有數個精确的版本。最简单的情況下可以將任意集合U定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线\mathbb{R}就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以應用於实分析，這時他默认地使用著的全集就是实数线…
超滤子
↑{1,4}被涂成黄色。它是一个主滤子，但不是一个超滤子，因为它能够通过增加浅绿色元素而扩展为一个非平凡的滤子↑{1}。而由于↑{1} 无法再被进一步扩展，它是一个超滤子]] 在数学领域集合论中，在集合 X 上的超滤子是作为极大滤子的 X 子集的搜集。超滤子可以被认为是有限可加性测度。那么 X 的所有子集要么被认为是“几乎所有”（有测度 1）要么被认为是“几乎没有”（有测度 0）。如果 A 是 X 的子集，则要么 A 要么 X\A 是超…
继承可数集合
在集合论中，一个集合被称为继承可数的，当且仅当它的传递闭包是可数集合。如果可数选择公理成立，则一个集合是继承可数的，当且仅当它是继承可数集合的可数集合。所有继承有限集合的集合符号化为 H_{\aleph_1}，意味着势小于 \aleph_1 的继承。 如果 x \in H_{\aleph_1}，则 L_{\omega_1}(x) \subset H_{\aleph_1}。 更一般的说，一个集合是势小于κ的继承，当且仅当它的传递闭包有着小…
不交集
在數學裡，若兩個集合沒有共同的元素，稱為不交（disjoint）。例如\{1, 2, 3\}和\{4, 5, 6\}為不交集（disjoint sets）。 解釋 從定義說，兩個集合A和B為不交，若其交集為空集，即 :A\cap B = \varnothing 此一定義可推廣至集族上。若然一個集族裡的任意兩個相異集合均為不交，則稱之為兩兩不交。 形式上，設I為索引集，且對I內的任一元素i，設A_i為一集合。然後\{A_i : i \in…
冯·诺伊曼全集
在集合论和有关的数学分支中，冯·诺伊曼全集或冯·诺伊曼集合层次，是由所有集合組成的类，可以分成超限階级的个体集合（a transfinite hierarchy of individual sets）。 它可以用超限归纳法定义为如下： 设V0是空集{}。 对于任何序数α，设Vα+1是Vα的幂集。 对于任何极限序数λ，设Vλ是迄今为止所有V-阶段的并集： :: V_\lambda := \bigcup_{\alpha . 最后，设V是所有…
有限交集性质
在点集拓扑学中，有限交集性质是集合 X 的子集的集合（子集族，即幂集P(X) 的子集）的性质。一个集合有这个性质如果这个集合的任何有限个子集的交集为非空。 定义 设 X 是集合，带有 A=\{A_i\}_{i\in I} 是 X 的子集族。则集合 A 有有限交集性质（fip），如果任何有限子集合 J\subset I 都有非空交集 \bigcap_{i\in J} A_i。 讨论 这个条件被平凡的满足，如果在整个搜集上的交集非空（特别是…
集合划分
表示。]] 在数学中，集合X的划分是把X分割到覆盖了X的全部元素而又不重叠的“部分”或“块”或“单元”中。更加形式的说，这些“单元”對于被划分的集合是既全无遗漏又互斥的。 定义 集合X的划分是X的非空子集的集合，使得每個X的元素x都只包含在这些子集的其中一个内。 等价的说，X的子集的集合P是X的划分，如果 P的元素都不是空集。（注：某些定义不需要这个要求） P的元素的并集等于X。（我们称P的元素覆盖X。） P的任何两个元素的交集为空。（…
继承有限集合
在数学中，继承有限集合被递归的定义为只包含继承有限集合（空集作为基础情况）的有限集合。非形式的说，继承有限集合是其成员也是有限集合，成员的成员也是有限集合以此类推，的有限集合。 它们可以通过如下规则构造： : 空集是继承有限集合。 : 如果a_1,\ldots,a_k是继承有限集合，则\{a_1,\ldots,a_k\}也是。 所有继承有限集合的集合被指示为V_\omega。如果我们指示P(S)为S的幂集，则 V_\omega还可以构造…