冯·诺伊曼全集

在集合论和有关的数学分支中，冯·诺伊曼全集或冯·诺伊曼集合层次，是由所有集合組成的类，可以分成超限階级的个体集合（a transfinite hierarchy of individual sets）。

它可以用超限归纳法定义为如下：

• 设V0是空集{}。
• 对于任何序数α，设Vα+1是Vα的幂集。
• 对于任何极限序数λ，设Vλ是迄今为止所有V-阶段的并集：

:: V_\lambda := \bigcup_{\alpha .

• 最后，设V是所有V-阶段的并：

:: V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \! .

等价的说，对于任何序数α，设V_\alpha := \bigcup_{\beta ，这里的\mathcal{P} (X) \!是X的幂集。

V和集合论
如果ω是自然数的集合，则Vω是继承有限集合的集合，它是不带有无穷公理的集合论的模型。Vω+ω是普通数学的全集。它是Zermelo集合论的模型。如果κ是，则Vκ是Zermelo-Fraenkel集合论自身的模型，而Vκ+1是Morse–Kelley集合论的模型。

注意所有个体阶段Vα都是集合，但是它们的并集V是真类。在V中的集合叫做继承良基集合；基础公理要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。（也有的公理系统忽略基础公理，或把基础公理替換為其強否定，如Aczel的反基础公理，不過這類系統很少被用到）。

给定任何集合A，使得A是某個Vα的子集的最小序数α是A的阶（或继承等级）。

哲学观点
有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集V和ZFC的联系。粗略的说，形式主义者傾向於把V看作是从ZFC公理推出的某种东西（例如，ZFC证明了所有集合都在V中）。在另一方面，实在論者會把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西，而把ZFC公理看作在V中为真的命题，透過簡單論證（透過自然語言），可以使人信服它們的真確性。一个可能的中间立场是，冯·诺伊曼层次的形象化概念给ZFC公理提供了一个动机（所以這些公理不是任意提出來的），但這不意味ZFC公理確實有描述真实存在的对象。

参见
*冯·诺伊曼
*可构造全集
*不可及基数